Theorie:
Zwei Gleichungen mit einer Variablen und nennt man äquivalent, ihre Lösungen übereinstimmt.
Wenn jede Lösung der Gleichung
\(I:\)
gleichzeitig auch Lösung der Gleichung
\(II:\)
ist, dann nennt man die Gleichung \(II\) ein Ergebnis der Gleichung \(I\).
\(I:\)
gleichzeitig auch Lösung der Gleichung
\(II:\)
ist, dann nennt man die Gleichung \(II\) ein Ergebnis der Gleichung \(I\).
Beispiel:
Die Gleichung ist ein Ergebnis der Gleichung .
In Wirklichkeit erhalten wir bei der Lösung jeder Gleichung:
und
Die Lösung der zweiten Gleichung ist eine der Lösungen der ersten Gleichung, deshalb ist die erste Gleichung ein Ergebnis der zweiten Gleichung.
Die folgende Behauptung ist offensichtlich:
Zwei Gleichungen sind äquivalent dann und nur dann, wenn jede von ihnen ein Ergebnis der anderen ist.
Erster Schritt — Lösung.
In diesem Schritt erfolgt die Modifikation nach dem Schema und es werden die Lösungen der letzten (der einfachsten) Gleichung der angegebenen Kette gefunden.
Zweiter Schritt — Lösungsanalyse.
In diesem Schritt analysieren wir, ob alle durchgeführten Modifikationen äquivalent waren.
Dritter Schritt — Überprüfung.
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung wird überprüft, ob das Ergebnis tatsächlich stimmt.
Wichtig!
Die Lösung der Gleichungen des Schulkurses basiert auf den sechs Theoremen über die Gleichwertigkeit.
Wenn man irgendein Glied der Gleichung aus einem Teil der Gleichung in den anderen mit einem umgekehrten Zeichen überträgt, dann erhält man eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist.
Wenn man beide Teile der Gleichung zu einer gleichen ungeraden Potenz erhebt, dann erhält man eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist.
Die Exponentialgleichung , wo\(a>0\), ist der Gleichung äquivalent.
Definition 3.Theorem 4.
Als den Definitionsbereich der Gleichung oder den Bereich der erlaubten Werte der Variablen nennt man eine Mehrzahl diejenigen Variablenwerte \(x\), bei denen gleichzeitig die Ausdrücke \(f(x)\) und \(g(x)\) einen Sinn ergeben.
Wenn man beide Teile der Gleichung mit einem und derselben Ausdruck \(h(x)\) multipliziert, der:
a) überall im Definitionsbereich (Bereich der erlaubten Werte) der Gleichung einen Sinn ergibt;
б) nirgendwo in diesem Bereich zum \(0\) wird,
dann erhält man die Gleichung , die der gegebenen äquivalent ist.
Ergebnis des Theorems 4.
Wenn man beide Teile der Gleichung mit einer und dieselben Zahl außer null multipliziert oder dadurch dividiert, dann erhält man eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist.
Wenn beide Teile der Gleichung nicht negativ im Definitionsbereich der Gleichung sind, dann erhält man nach der Erhebung ihrer beiden Teile zu einer und derselben geraden Potenz \(n\) eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist:
Wenn und sind, dann ist die logarithmische Gleichung , wo \(a>0\), , der Gleichung äquivalent.
Quellen:
Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.
2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel). - M.: Mnemozina, 2009.