Theorie:

Die Lösung der Gleichung mit zwei Variablen \(p(x;y)=0\) nennt man jedes Zahlenpaar \((x;y)\), das die Gleichung in eine wahre Aussage umwandelt.
Eine Gleichung mit zwei Variablen hat gewöhnlich unendlich viele Lösungen.
Beispiel:
Die Gleichung x2+y2=9 erfüllt jedes Paar \((x;y)\), für das der Punkt der Koordinatenebene \(M(x;y)\) dem Kreis mit dem Radius \(3\) mit Zentrum im Nullpunkt gehört.
 
Beispiel:
Finden wir die ganzzahlige Lösungen der Gleichung 3x+4y=19
 
Zuerst drücken wir \(x\) aus der gegebenen Gleichung aus:
x=194y3
 
Bei der Division der ganzen Zahl \(y\) durch \(3\) gibt es drei Möglichkeiten:
1) \(y = 3k\), (Teilbar durch \(3\))
2) \(y = 3k+1\), (\(1\) Rest)
3) \(y = 3k+2\). (\(2\) Rest)
 
  • Wenn \(y = 3k\), dann erhalten wir
    194y=1943k=1912k.
    Diese Zahl kann nicht durch \(3\) dividiert werden, da \(12k\) durch \(3\) teilbar ist, aber \(19\) nicht.
  • Wenn \(y = 3k+1\), dann erhalten wir
    194y=1943k+1=1912k4=1512k=354k.
    Diese Zahl kann durch \(3\) dividiert werden.
  • Wenn \(y = 3k+2\), dann erhalten wir
    194y=1943k+2=1912k8=1112k.
    Diese Zahl ist - wie die erste - nicht durch \(3\) teilbar.
Das bedeutet, dass die einzige Möglichkeit einer ganzzahligen Lösung der Gleichung das Zahlenpaar \((5-4k;3k+1)\) ist, wobei \(k\) eine beliebige ganze Zahl ist.
Eine Lösung der Ungleichung \(p(x;y)>0\) ist jedes Zahlenpaar \((x;y)\), das diese Ungleichung erfüllt, d.h. sie zu einer wahren Aussage macht.
 
Beispiel:
Lösen wir die Ungleichung \(2x+3y>0\).
Wir zeichnen den Graphen der Gleichung \(2x+3y=0\) - das ist eine Gerade.
Die Lösung der Ungleichung sind alle Punkte der Halbebene oberhalb oder unterhalb der gezeichneten Geraden. Für die richtige Bestimmung der benötigten Halbebene wählen wir einen beliebigen Punkt aus ihr, dessen Koordinaten wir in die gegebene Ungleichung einsetzen.  
 
Wenn die Ungleichung dadurch zu einer wahren Aussage wird, dann wurde die richtige Halbebene ausgewählt.
 
lineara nevienad.png
 
Wählen wir den Kontrollpunkt \((1;1)\) aus der oberen Halbebene, so erhalten wir die wahre Aussage 
21+31>0.
Das bedeutet, dass die Lösung der gegebenen Ungleichung die obere Halbebene ist.
 
Analog kann man auch Ungleichungssysteme mit zwei Variablen betrachten.
Das Ungleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen bedeutet, jene Punkte der Koordinatenebene zu finden, deren Koordinaten gleichzeitig alle Ungleichungen des Systems erfüllen.
 
Quellen:
Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.
2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel).  - M.: Mnemozina, 2009.