Theorie:
Wir gehen wieder von der Standardform einer quadratischen Gleichung aus: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Falls hier \(b=0\) ist, fehlt der lineare Term, und wir haben eine reinquadratische Gleichung
\[ ax^2+c=0 \]
mit beliebigen reellen Zahlen \(a\) und \(c\).
Wir können nun das \(c\) auf die rechte Seite bringen, indem wir es von der Gleichung subtrahieren. Dann dividieren wir noch durch \(a\). Das ergibt
\[ ax^2 = -c \quad \text{ und nach Division durch }a: \; \quad x^2 = -\frac{c}{a} \,. \qquad\qquad \]
Dadurch haben wir einen Ausdruck für \(x^2\).
Wenn wir \(x\) selbst erhalten wollen, müssen wir die Quadratwurzel verwenden. Die Quadratwurzel dürfen wir aber nur aus einem Ausdruck ziehen, der positiv oder zumindest Null ist. Aus einer negativen Zahl kann man die Wurzel nicht ziehen. Unsere reinquadratische Gleichung hat also nur dann eine Lösung, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite größer als oder zumindest gleich Null ist, also wenn \(-\frac{c}{a}\geq 0\).
Reinquadratische Gleichungen löst man also dadurch, dass man wie oben alle Zahlen auf die rechte Seite bringt, bis \(x^2\) alleine auf der linken Seite steht. Je nachdem, welches Vorzeichen der Ausdruck \(-\frac{c}{a}\) auf der rechten Seite hat, gibt es unterschiedlich viele Lösungen:
- Wenn \(-\frac{c}{a}< 0\) ist, dürfen wir aus der Gleichung die Wurzel nicht ziehen. Es gibt keine reelle Zahl \(x\), für die \(x^2\) gleich der negativen Zahl auf der rechten Seite werden kann. In diesem Fall hat die Gleichung keine Lösung.
- Wenn \(-\frac{c}{a}= 0\) ist, dann können wir aus der rechten Seite die Quadratwurzel ziehen. Die Wurzel aus Null ist aber wiederum Null. Dann hat unsere Gleichung genau eine Lösung, nämlich \(x=0\).
- Wenn \(-\frac{c}{a}> 0\) ist, dann können wir aus der rechten Seite ebenfalls die Quadratwurzel ziehen. Nun haben wir aber zwei Lösungen, denn nicht nur die Quadratwurzel aus einer Zahl ergibt im Quadrat wiederum diese Zahl — das gilt auch für das Negative der Quadratwurzel (denn minus mal minus ergibt auch plus). Wir haben also die beiden Lösungen
\(x_1 = +\sqrt{-\frac{c}{a}}\) und \(x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\).
Wir werden sehen, dass dies auch für allgemeine quadratische Gleichungen typisch ist: Sie können keine, eine oder zwei Lösungen haben; andere Möglichkeiten gibt es nicht. Genau wie hier das \(-\frac{c}{a}\) auf der rechten Seite, gibt es auch bei allgemeinen quadratischen Gleichungen einen Ausdruck, der bestimmt, wie viele Lösungen die Gleichung hat, die sogenannte Diskriminante.
Beispiel:
Nehmen wir die reinquadratische Gleichung \(2x^2 - 8 = 0\).
Wir bringen alle Zahlen auf die rechte Seite, indem wir zuerst 8 addieren und dann durch 2 dividieren:
\( 2x^2 = 8\)
\(x^2 = 4 \)
Weil der Ausdruck auf der rechten Seite positiv ist, haben wir zwei Lösungen; die positive und die negative Quadratwurzel:
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \), also
\(x_1 = +2\) und \(x_2 = -2\).
Wir bringen alle Zahlen auf die rechte Seite, indem wir zuerst 8 addieren und dann durch 2 dividieren:
\( 2x^2 = 8\)
\(x^2 = 4 \)
Weil der Ausdruck auf der rechten Seite positiv ist, haben wir zwei Lösungen; die positive und die negative Quadratwurzel:
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \), also
\(x_1 = +2\) und \(x_2 = -2\).
Beispiel:
Im Fall der Gleichung \( 2x^2+2=0\) subtrahieren wir zunächst 2 und dividieren dann noch durch 2:
\( 2x^2 = -2\)
\(x^2 = -1 \)
Weil der Ausdruck auf der rechten Seite nun negativ ist, gibt es zu dieser Gleichung keine Lösung.
\( 2x^2 = -2\)
\(x^2 = -1 \)
Weil der Ausdruck auf der rechten Seite nun negativ ist, gibt es zu dieser Gleichung keine Lösung.