Theorie:
Eine Gleichung heißt quadratische Gleichung in \(x\), wenn das \(x^2\) (oder ein Vielfaches davon, wie etwa \(3x^2\)) darin (als höchste Potenz von \(x\)) vorkommt. Ein Beispiel wäre etwa
\[x^2 + 13x = 22\]
Quadratische Gleichungen können aus folgenden drei Teilen bestehen:
- einem Teil, der ein Vielfaches von \(x^2\) ist (dem quadratischen Teil),
- einem Teil, der ein Vielfaches von \(x\) ist (dem linearen Teil) — im Beispiel oben sind das die \(13x\).
- einem Teil, der nur eine Zahl ist, die nicht von \(x\) abhängt (dem konstanten Teil) — im Beispiel ist das die \(22\) auf der rechten Seite.
Für quadratische Gleichungen muss man im Allgemeinen andere Lösungswege finden als für lineare Gleichungen.
Weil es bei der Gleichung oben keinen Weg gibt, das \(x\) alleine auf eine Seite zu bringen, ist die Anordnung aller drei Teile nicht von vorneherein eindeutig. Man hat sich deswegen geeinigt, alle drei Teile auf eine Seite zu bringen; das ist die sogenannte Standardform für quadratische Gleichungen. In unserem Beispiel oben bringen wir die \(22\) also auf die linke Seite und erhalten
\[ x^2 + 13x - 22 = 0 \]
Allgemein sieht eine auf Standardform (auch allgemeine Form) gebrachte quadratische Gleichung so aus:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Hier sind \(a,b\) und \(c\) beliebige (reelle) Zahlen. In unserem Beispiel oben wäre dann \(a=1\) (denn \(1x^2 = x^2\)), \(b=13\) und \(c=-22\).
Insbesondere ist unsere obige Gleichung auch bereits in der sogenannten Normalform dargestellt, d.h. mit \(a=1\). Wäre das nicht so, könnte man die gesamte Gleichung durch \(a\) dividieren um sie in diese Form zu bringen.
Die drei Zahlen \(a,b\) und \(c\) heißen Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Sie sind immer reine Zahlen oder Konstanten, die nie von \(x\) abhängen. Wie bereits erwähnt, haben die drei Teile einer quadratischen Gleichung einen Namen:
- \(ax^2\) ist der quadratische Teil, und \(a\) heißt quadratischer Koeffizient.
- \(bx\) ist der lineare Teil, und \(b\) heißt linearer Koeffizient.
- \(c\) ist der konstante Teil, und \(c\) heißt auch konstanter Koeffizient.
Es müssen außer \(ax^2\) nicht alle Teile in der Gleichung vorkommen, um eine quadratische Gleichung zu ergeben. Wenn ein Teil fehlt, ergeben sich Spezialfälle von quadratischen Gleichungen, die einfacher zu lösen sind und besondere Namen haben. In diesem Fall ist der dazugehörige Koeffizient gleich Null. Folgende Fälle sind möglich:
- Fehlt der quadratische Teil, ist \(a=0\). Dann bleibt aber nur die Gleichung
\(bx+c=0\)
übrig. Das ist jedoch gar keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine lineare Gleichung mit der Lösung
\( x = -\frac{c}{b} \) ,
was man leicht durch Auflösen nachprüfen kann. Der quadratische Teil muss also immer vorkommen, wenn wir von einer quadratischen Gleichung sprechen.
- Fehlt der lineare Teil, ist \(b=0\). Dann bleibt die Gleichung
\(ax^2 + c = 0\)
übrig. Man spricht dann von einer sogenannten reinquadratischen Gleichung.
- Wenn der konstante Teil fehlt, ist \(c=0\). In diesem Fall lautet die Gleichung
\(ax^2+bx=0 \).
Dann haben wir eine sogenannte homogene Gleichung.
Diese Fälle sind einfacher zu lösen als eine allgemeine quadratische Gleichung, die alle drei Teile hat. Wir werden uns daher zuerst mit den Fällen 2. und 3. befassen, bevor wir uns an die allgemeine Gleichung wagen.