Theorie:
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung \(x^2 + 6x -16 = 0\).
Sie liegt schon in der Form \(x^2+px+q\) vor, mit \(p=6\) und \(q=-16\).
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir noch gleich \(\frac{p}{2}=3\).
Wir berechnen zuerst die Diskriminante als \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = 3^2 -(-16) = 9+16= 25 \).
Also ist \(D>0\), d.h. die Diskriminante ist positiv. Somit haben wir zwei Lösungen, nämlich
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = -3\pm \sqrt{25} = -3\pm 5\) oder
\(x_1 = -3-5 = -8\) und \(x_2 = -3+5 = 2\).
Sie liegt schon in der Form \(x^2+px+q\) vor, mit \(p=6\) und \(q=-16\).
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir noch gleich \(\frac{p}{2}=3\).
Wir berechnen zuerst die Diskriminante als \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = 3^2 -(-16) = 9+16= 25 \).
Also ist \(D>0\), d.h. die Diskriminante ist positiv. Somit haben wir zwei Lösungen, nämlich
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = -3\pm \sqrt{25} = -3\pm 5\) oder
\(x_1 = -3-5 = -8\) und \(x_2 = -3+5 = 2\).
Beispiel:
Auch die Gleichung \(x^2 - 2x + 4= 0\) ist schon in der richtigen Form mit \(p=-2\) und \(q=4\).
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir wieder \(\frac{p}{2}=-1\).
Die Diskriminante ist \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = (-1)^2 - 4 = 1-4=-3 \).
Hier ist die Diskriminante negativ; somit hat die Gleichung keine Lösung.
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir wieder \(\frac{p}{2}=-1\).
Die Diskriminante ist \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = (-1)^2 - 4 = 1-4=-3 \).
Hier ist die Diskriminante negativ; somit hat die Gleichung keine Lösung.
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung \(2x^2 + 8x + 8 = 0\).
Um sie in die Form \(x^2+px+q\) zu bringen, dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten
\(x^2 + 4x + 4 = 0\), mit \(p=4\) und \(q=4\).
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir wieder \(\frac{p}{2}=2\).
Die Diskriminante ist \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = 2^2 -4 = 4-4 =0\).
Hier ist \(D=0\); wir haben also nur eine Lösung, nämlich \(x = -\frac{p}{2} = -2\).
Beachte, dass wir diese Lösung auch aus der kleinen Lösungsformel erhalten mit
\(x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = -2\pm \sqrt{0} = -2\pm 0 = -2\), wenn wir berücksichtigen, dass eine Addition oder Subtraktion von Null zum selben Ergebnis führt.
Um sie in die Form \(x^2+px+q\) zu bringen, dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten
\(x^2 + 4x + 4 = 0\), mit \(p=4\) und \(q=4\).
Zur einfacheren Berechnung bestimmen wir wieder \(\frac{p}{2}=2\).
Die Diskriminante ist \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = 2^2 -4 = 4-4 =0\).
Hier ist \(D=0\); wir haben also nur eine Lösung, nämlich \(x = -\frac{p}{2} = -2\).
Beachte, dass wir diese Lösung auch aus der kleinen Lösungsformel erhalten mit
\(x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = -2\pm \sqrt{0} = -2\pm 0 = -2\), wenn wir berücksichtigen, dass eine Addition oder Subtraktion von Null zum selben Ergebnis führt.
Auch die bisher betrachteten Spezialfälle lassen sich mit der kleinen Lösungsformel richtig berechnen:
- Die homogene Gleichung \(ax^2+bx=0\) bringen wir zuerst auf die richtige Form, indem wir durch \(a\) dividieren:
\[ x^2 + \frac{b}{a} x = 0 \,, \quad \text{d.h. wir haben} \quad p=\frac{b}{a} \quad \text{und} \quad q = 0 \,.\]
Wir berechnen noch \(\frac{p}{2} = \frac{b}{2a}\).
Dann wird die Diskriminante zu \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - 0 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2\).
Das ist aber immer positiv, weil es ein Quadrat ist. Somit gibt es die beiden Lösungen
\(x_{1,2} =-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} =-\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2} =-\frac{b}{2a} \pm \frac{b}{2a} \) oder
\(x_1 = 0\) und \(x_2 = -\frac{b}{a}\).
Das sind schon die beiden Lösungen, die wir im Abschnitt über die homogenen Gleichungen ermittelt haben.
- Die reinquadratische Gleichung \(ax^2+c=0\) dividieren wir ebenfalls durch \(a\) und erhalten
\[ x^2 + \frac{c}{a} = 0 \,, \quad \text{d.h. wir haben} \quad p=0 \quad \text{und} \quad q = \frac{c}{a}\,. \]
Natürlich ist dann auch \(\frac{p}{2} = 0\).
Dann wird die Diskriminante zu \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q = 0^2 - \frac{c}{a} = - \frac{c}{a} \).
Abhängig vom Vorzeichen dieser Diskriminante gibt es dann
- keine Lösung, wenn \(-\frac{c}{a}<0\) ist.
- eine Lösung, wenn \(-\frac{c}{a}=0\) ist.
- zwei Lösungen, wenn \(-\frac{c}{a}>0\) ist.
Wenn es Lösungen gibt, sind diese gleich \(x_{1,2} =-\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = 0\pm\sqrt{-\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\). Falls die Diskriminante gleich Null ist, wird das zu der einzigen Lösung \(x=0\).
Auch das stimmt mit unserem früheren Ergebnis überein.