Theorie:
Der Kehrwert einer reellen Zahl \( x\neq 0\) ist der Bruch \(\frac 1x\).
Der Kehrwert hat die (definierende) Eigenschaft \(x\cdot \frac 1x=1\). Für \(y\neq 0\) können wir den Bruch \(\frac xy\) auch schreiben als \(x\cdot \frac 1y\), also der Multiplikation von \(x\) mit dem Kehrwert von \(y\).
Multiplikation von Brüchen: Multipliziert man zwei Brüche reeller Zahlen, so multipliziert man die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinender:
\(\displaystyle \frac xy\cdot\frac ab= \frac{x\cdot a}{y\cdot b}\).
Addition von Brüchen mit gleichen Nennern: Sind die Nenner von zwei Brüchen gleich, so kann man die Brüche addieren, indem man einfach die Zähler addiert:
\(\displaystyle \frac x z+\frac yz= \frac {x+y}z\).
Will man zwei Brüche addieren, deren Nenner unterschiedlich sind, so muss man sie zunächst auf gleichen Nenner bringen:
Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern: Will man zwei beliebige Brüche reeller Zahlen addieren, so gilt folgende Rechenregel:
\(\displaystyle \frac xy+\frac ab= \frac {x\cdot b}{y\cdot b}+\frac{a\cdot y}{b\cdot y}=\frac {x\cdot b+a\cdot y}{b\cdot y}\).
Gemeinsame Faktoren im Zähler und im Nenner können gekürzt werden:
\(\displaystyle \frac {n\cdot x}{n\cdot y} = \frac {\not\! n\cdot x}{\not \!n\cdot y}=\frac xy\).
Das Gegenteil davon ist das Erweitern, d.h. das Multiplizieren eines Bruches mit einem Bruch der Gestalt \(\frac nn\) (der den Wert \(1\) hat), wobei \(n\neq 0\). Das macht man meistens, wenn man einen vorhandenen Bruch auf einen anderen Nenner bringen will:
\(\displaystyle \frac xy=\frac xy\cdot \frac nn= \frac {x\cdot n}{y\cdot n}\).
Ein Doppelbruch ist ein Bruch der Gestalt
\(\displaystyle \Big({\frac xy}\Big):\Big({\frac ab}\Big)=\frac{\frac xy}{\frac ab}\quad x,y,a,b\in\mathbb R\).
(Beachte: Der mittlere Bruchstrich ist größer als die beiden anderen.) Da der Kehrwert von \(\frac ab\) gleich \(\frac ba\) ist, gilt für den Doppelbruch:
\(\displaystyle \frac{\frac xy}{\frac ab}=\frac xy\cdot \frac ba\).