Theorie:
Für die Grundrechnungsarten gelten gewisse Rechenregeln, die in \(\mathbb R\) und auch in \(\mathbb Q\), \(\mathbb Z\) und \(\mathbb N\) gelten.
Kommutativgesetz für die Addition: Addiert man zwei reelle Zahlen \(x,y\), so spielt die Reihenfolge der Addition keine Rolle:
\(x+y=y+x\).
Beispielsweise ist \(3+8\) gleich \(11\), aber auch \(8+3\). Das Gleiche gilt auch für die Multiplikation:
Kommutativgesetz für die Multiplikation: Multipliziert man zwei reelle Zahlen \(x,y\), so spielt die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle:
\(x\cdot y=y\cdot x\).
Auch das ist uns vertraut. So gilt zum Beispiel \(3\cdot 8=24=8\cdot 3\). Das nächste fundamentale Rechengesetz ist das Assoziativgesetz:
Assoziativgesetz für die Addition: Addiert man drei reelle Zahlen \(x,y,z\), so ist es für das Resultat egal, ob man zuerst \(x+y\) berechnet und dann erst \(z\) dazuzählt, oder zuerst \(y+z\) berechnet, und dann \(x\) dazuzählt:
\((x+y)+z=x+(y+z)\).
Will man zum Beispiel die Summe \(3+1+9\) berechnen, so kann man zweierlei vorgehen, ohne die Reihenfolge der Zahlen zu ändern:
- Man berechnet \(3+1=4\), und im zweiten Schritt \(4+9=13\).
- Man berechnet zuerst \(1+9=10\), und dann \(3+10=13\).
Auch für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz:
Assoziativgesetz für die Multiplikation: Multipliziert man drei reelle Zahlen \(x,y,z\), so ist es für das Resultat egal, ob man zuerst \(x\cdot y\) berechnet und das dann mit \(z\) multipliziert, oder zuerst \(y\cdot z\) berechnet, und dann mit \(x\) multipliziert:
\((x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\).
Wichtig!
Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten nicht für die Division und die Subtraktion!
So ist \(3-5=-2\), aber \(5-3=2\).
Von sehr großer Bedeutung ist schließlich das Distributivgesetz.
Distributivgesetz: Hat man drei reelle Zahlen \(x,y,z\), so gilt:
\(x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z\).
Zum Beispiel erhalten wir \(4\cdot (2+7) = 4\cdot 9=36\), und andererseits \(4\cdot (2+7) =4\cdot 2+4\cdot 7=8+28=36\). Stillschweigend haben wir in diesem Beispiel noch eine Regel, oder vielmehr eine Konvention, verwendet:
Punktrechnung vor Strichrechnung: Kommen in einer Rechnung verschiedene Operationen vor, so sind immer zuerst die Multiplikationen und Divisionen ("Punktrechnung") vor den Additionen und den Subtraktionen ("Strichrechnung") auszuführen.
Will man \(8+3\cdot 6\) berechnen, so muss man zuerst das Produkt \(3\cdot 6=18\) berechnen, und erst dann addieren wir \(8\). Das Ergebnis ist \(8+18=26\). Es ist falsch, zuerst \(8+3=11\) auszurechnen, und dann das Ergebnis mit \(6\) zu multiplizieren: \(11\cdot 6=66\).
Wichtig!
Man sollte das berücksichtigen, wenn man den Taschenrechner verwendet. Bei manchen (einfacheren) Taschenrechnern liefert die Tastenfolge \(\boxed{8}\) \(\boxed{+}\) \(\boxed{3}\) \(\boxed{\times}\) \(\boxed{6}\) das falsche Ergebnis \(66\), weil sie nicht abwarten, ob nach \(3\) ein Mal oder ein Plus kommt.