Theorie:
Die Funktion, die jeder beliebigen reellen Zahl \(x\) ihren Betrag, \(|x|\), zuordnet, ist die Betragsfunktion \(y=|x|\).
Es ist
In diesen Fällen zeichnet man den Graphen schrittweise. Zuerst konstruiert man die Gerade \(y=x\) und zeichnet sie im Intervall .
Danach bildet man die Gerade \(y=-x\) und zeichnet sie im Intervall .
Schließlich werden die beiden Teile in einem Koordinatensystem zusammengefügt. Man erhält den Graphen der Funktion \(y=|x|\).
Identitätsgleichung
Wir wissen, dass für . Was aber erhält man, wenn \(a < 0\)?
In diesem Fall kann man nicht schreiben, da \(a < 0\). Man würde also erhalten, dass . Das ist aber falsch, denn der Wert der Quadratwurzel kann nicht negativ sein.
Wie kann man nun den Wert des Ausdrucks für \(a < 0\) bestimmen? Nach der Definition muss das Ergebnis einer Quadratwurzel immer eine positive Zahl sein und nach dem Potenzieren mit 2 die Zahl unter der Wurzel ergeben, d.h. . Eine Zahl, die diese Eigenschaften erfüllt, ist die Zahl \(- a\), denn:
1. \(- a > 0\) ( \(a\) ist eine negative Zahl, also ist \(- a\) eine positive Zahl);
2.
Also,
Die rechte Seite der Gleichung sieht bekannt aus. Der Betrag der Zahl \(a\) wird ganz analog bestimmt:
Das heißt und \(| a |\) liefert dasselbe Ergebnis, die Zahlen sind also gleich.
\(a\) kann auch durch jeden beliebigen Zahlen- oder algebraischen Ausdruck ersetzt werden.
Wichtig!
Wir haben also die Identität bewiesen.