Betrag einer reellen Zahl — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Der Betrag einer nichtnegativen reellen Zahl \(x\) ist die Zahl selbst: \(| x | = x\); der Betrag einer negativen reellen Zahl \(x\) ist die ihr entgegengesetzte Zahl: \(|x| = - x\).

Für eine reelle Zahl \(x\) gilt:

|x| = \{\begin{cases} x f ü r x \geq 0 \\ - x f ü r x < 0 \end{cases}

Zum Beispiel:

\begin{array}{l} |5| = 5 \\ |- 5| = - (- 5) = 5 \\ |- 3.7| = - (- 3.7) = 3.7 \\ |\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2 (weil \sqrt{5} - 2 > 0) \end{array}

Eigenschaften des Betrags

|a| \geq 0

;

|ab| = |a| \cdot |b|

;

|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}

;

{|a|}^{2} = a^{2}

;

|a| = |- a|

Abstand zwischen zwei Punkten

Man markiert auf der Zahlengeraden zwei Punkte \(a\) und \(b\). Mit \(d(a, b)\) bezeichnet man den Abstand zwischen den Punkten \(a\) und \(b\). Dieser Abstand ist gleich \(b - a\), wenn \(b > a\).