2. Zahlenmengen, Teilmengen

Fügt man den natürlichen Zahlen die Zahl \(0\) und alle negativen Zahlen \(-1, -2, -3, -4, ..., \) hinzu, erhält man die Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge bezeichnet man mit $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Fügt man der Menge der ganzen Zahlen alle Brüche aus ganzen Zahlen ($\frac{1}{3},\frac{51}{52},-\frac{8}{5},...$ etc.) hinzu, bekommt man die Menge der rationalen Zahlen. Diese Menge bezeichnet man mit $\mathrm{\mathbb{Q}}$.

Die Menge der rationalen Zahlen $\mathrm{\mathbb{Q}}$ ist die Menge, die aus den Zahlen der Form $\frac{m}{n}$ (wobei \(m\) eine ganze und \(n\) eine natürliche Zahl ist).

Es ist klar, dass $\mathrm{\mathbb{N}}$ ein Teil der Menge $\mathrm{\mathbb{Z}}$, und  $\mathrm{\mathbb{Z}}$ ein Teil der Menge $\mathrm{\mathbb{Q}}$ ist. Wir schreiben $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}};\mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$.
Jede natürliche Zahl ist also auch eine ganze und eine rationale Zahl, es gibt jedoch rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, ebenso gibt es ganze Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind.

Das mathematische Symbol $\subset$ ist das Symbol für Teilmenge.

Die Schreibweise $x\in X$ bedeutet, dass das Element \(x\) in der Menge \(X\) enthalten ist.

Die Schreibweise $A\subset B$ bedeutet, dass \(A\) eine Teilmenge von \(B\) ist. Man sagt auch: \(A\) ist echte Teilmenge von \(B\).

Um anzugeben, dass das Element \(x\) nicht in der Menge \(X\) enthalten ist, oder dass \(A\) keine (echte) Teilmenge  von \(B\) ist, benutzt man dieselben Symbole, jedoch durchgestrichen: $x\notin X,A\not\subset B$.

Jede rationale Zahl kann als endliche Dezimalzahl oder als unendlicher periodischer Bruch geschrieben werden:

$\begin{array}{l}\frac{7}{22}=\mathrm{0,3181818}...=\mathrm{0,3}\stackrel{.}{1}\stackrel{.}{8}\\ 4=\mathrm{4,000}...=\mathrm{4,}\stackrel{.}{0}\\ \mathrm{7,3777}=\mathrm{7,37770000}...=\mathrm{7,3777}\stackrel{.}{0}\end{array}$

Umgekehrt gilt, dass jede unendliche periodische Dezimalzahl als Bruch geschrieben werden kann. Das heißt, dass jede unendliche periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl ist.