Theorie:
Im vorigen Abschnitt wurde dargelegt, dass manche Rechenoperationen, wie die Subtraktion, aus den natürlichen Zahlen "hinausführen". So macht innerhalb der natürlichen Zahlen die Rechnung \(6-9\) keinen Sinn mehr, weil es keine natürliche Zahl \(n\) gibt, so dass \(6-9=n\) gilt. (Wenn wir unser Wissen über negative Zahlen vorwegnehmen, wissen wir, dass das Ergebnis \(n=-3\) wäre, was offensichtlich keine natürliche Zahl mehr ist.) Will man also trotzdem auch solche Rechnungen machen, dann sind eben die natürlichen Zahlen nicht genug.
Die Behebung dieses Problems führt über eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Das bedeutet nichts anderes, als dass wir zu den natürlichen Zahlen noch weitere Zahlen hinzugeben (zum Beispiel die negativen ganzen Zahlen), sodass die gewünschten Operationen wieder durchgeführt werden können.
Schauen wir uns das konkret für die Subtraktion an. Wir haben bereits gesehen, dass die Differenz zweier natürlicher Zahlen manchmal keine natürliche Zahl mehr ist, sondern das Negative einer natürlichen Zahl. Wir nennen eine solche Zahl eine Gegenzahl zu einer natürlichen Zahl: So ist beispielsweise \(-5\) die Gegenzahl zu \(5\).
Damit wir die Subtraktion immer ohne Probleme durchführen können, erweitern wir also die natürlichen Zahlen \(\mathbb N=\{0, 1,2,3,\ldots\}\) um deren Gegenzahlen \(\{-1,-2, -3, \ldots\}\). Das Resultat ist die Menge der ganzen Zahlen:
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus allen natürlichen Zahlen und deren Gegenzahlen, und wird mit \(\mathbb Z\) bezeichnet:
\(\mathbb Z= \{\ldots, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3,\ldots\} = \{n\,|\, n\in\mathbb N \text{ oder } -n\in\mathbb N\}\).
\(\mathbb Z\) ist eine Obermenge von \(\mathbb N\), also \(\mathbb N\subset \mathbb Z\).
Beispiel:
Beispiele für ganze Zahlen sind:
- \(-45\)
- \(-16299\)
- \(9\)
- \(2000\)
Klarerweise muss die Addition, Multiplikation und Subtraktion von natürlichen Zahlen immer in \(\mathbb Z\) sein, so haben wir \(\mathbb Z\) ja definiert. Man überprüft aber auch leicht, dass die Addition, Multiplikation und Subtraktion von ganzen Zahlen wieder eine ganze Zahl ist.
\(\mathbb Z\) ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Multiplikation und Subtraktion.
Wichtig!
\(\mathbb Z\) ist nicht abgeschlossen bezüglich der Division.
Wir haben die natürlichen Zahlen bislang nur so erweitert, dass man die Subtraktion immer durchführen kann. Auch hier gilt, analog zu den natürlichen Zahlen, dass die Division von ganzen Zahlen nur dann wieder eine ganze Zahl liefert, wenn bei der Division der Rest \(0\) bleibt. Bleibt ein Rest ungleich \(0\) übrig, so ist das Ergebnis keine ganze Zahl mehr.