Theorie:
Messwerte und Rechenergebnisse sind in der Realität oft nicht exakt, sondern Näherungswerte.
Dies geschieht immer dann, wenn man den wahren Wert \(\bar a\) nicht kennt (oder nicht angeben kann oder will).
Der Näherungswert des wahren Wertes ist ein Wert, der hinreichend nahe beim wahren Wert liegt.
Beispiele für Näherungswerte sind:
- Gerundete Zahlen.
- Die Darstellung von irrationalen Zahlen als Dezimalzahlen. So ist \(3,\!14159\) ein Näherungswert von \(\pi\).
- Messungen: Längen, Gewichte, ..., sind in der Realität nie exakt ermittelbar - man begnügt sich immer mit einem Messwert, der eine hinreichend genaue Näherung des exakten Wertes darstellt. Zum Beispiel genügt es für die meisten Situationen, dass ich meine Körpergröße mit \(179\,\text{cm}\) angebe. Natürlich bin ich nicht exakt \(179\,\text{cm}\) groß, meine tatsächliche Größe wird einen Bruchteil eines Zentimeters davon abweichen, und vielleicht sogar tageszeitabhängig im Millimeterbereich schwanken.
Der exakte Wert liegt in einer Umgebung des Näherungswertes, meistens ein Intervall um den Näherungswert:
Zu einem Näherungswert gehört immer ein Zuverlässigkeitsintervall: Das ist das (meist symmetrische) Intervall um den Näherungswert, in dem der exakte Wert liegt.
Beispiel:
Es gilt \(\pi=3,\!14159\ldots\). Eine Näherung wäre \(\pi\approx 3,\!14\), ein mögliches Zuverlässigkeitsintervall wäre \(\pi\in[3,\!13; 3,\!15]\).
Die halbe Breite des Zuverlässigkeitsintervalls heißt absolute Fehlerschranke. Sie ist der maximale Betrag der Abweichung - der exakte Wert liegt näher als die absolute Fehlerschranke beim Näherungswert.
Beispiel:
In obigem Beispiel wäre die absolute Fehlerschranke gleich \(0,\!01\).
Statt dem Näherungsintervall kann man alternativ die Genauigkeit eines Näherungswertes als
[Näherungswert]\(\pm\)[absolute Fehlerschranke]
angeben.
Beispiel:
Für obiges Beispiel mit \(\pi\) würde man schreiben: \(\pi=3,\!14\pm0,\!01\).
Der Abstand zwischen exaktem Wert und Näherungswert bezeichnet man als absoluten Fehler. Da man den exakten Wert meist nicht kennt, muss dieser (siehe oben) geschätzt werden.
Eine weitere Möglichkeit, Fehler anzugeben, ist der relative Fehler:
Der relative Fehler eines Näherungswertes ist der absolute Fehler, dividiert durch den exakten Wert. Hat man den exakten Wert nicht, so verwendet man auch hier eine Näherung, zum Beispiel die Mitte des Zuverlässigkeitsintervalls.
Der relative Fehler wird oft in Prozent angegeben.