Theorie:
Oft gibt man bei Messwerten, usw., weder das Zuverlässigkeitsintervall noch die absolute Fehlerschranke explizit an. Stattdessen bedient man sich folgender Genauigkeitskonvention:
Die absolute Fehlerschranke zu einem Näherungswert ist höchstens eine Einheit des Stellenwertes der letzten Ziffer des Näherungswertes.
Handelt es sich um einen Rundungswert, so ist die absolute Fehlerschranke sogar nur halb so groß. In beiden Fällen bedeutet das nichts anderes, als dass man Näherungswerte nicht genauer angibt, als es einem möglich ist.
Wichtig!
Unterscheide aus dem Zusammenhang heraus zwischen Näherungswerten, die durch Runden zustandegekommen sind und solchen, die auf Grund einer ungenauen Messung nicht exakter sind!
Beispiel:
Es gilt \(\sqrt 2 =1,414213562373\ldots\). Ein Näherungswert wäre \(\sqrt 2\approx 1,414\). Gemäß obiger Konvention kann man daraus ablesen, dass der exakte Wert sich von der Näherung um weniger als die Hälfte der letzten Nachkommastelle unterscheidet (da es sich ja um einen Rundungswert handelt), also \(1,4135\le \sqrt 2 <1,4145\).
Beispiel:
Mit einem Sonar wird die Tiefe des Meeres unter einem Boot gemessen: \(h=(4,\!274\pm 0,\!08)\cdot 10^{2}\,\text{m}\). Die Tiefe liegt also zwischen \(4,\!194\cdot 10^2\text{m}\) und \(4,\!354\cdot 10^2\,\text{m}\). Die Angabe der Tiefe mit \(4\cdot 10^2\,\text{m}\) ist nicht falsch, aber man vergibt unnötig viel Genauigkeit. Es wäre genauso legitim (und genauer) zu sagen, die Tiefe liege zwischen \(4,\!2\cdot 10^2\,\text{m}\) und \(4,\!4\cdot 10^2\,\text{m}\). Sollte man aber sich auf einen einzigen Wert festlegen, so würde man sich wohl auf den geeignet gerundeten Wert in der Mitte des Genauigkeitsintervalls, \(4,\!274\), berufen: Die Tiefe ist beträgt rund \(4,\!3\cdot 10^2\,\text{m}\).
Dies ist ein Beispiel, wo der absolute Fehler nicht die Hälfte der Einheit der letzten Nachkommastelle beträgt, sondern (sogar ein wenig mehr als) eine ganze Einheit.
Wichtig!
Eine Null nach dem Komma darf bei Näherungswerten nicht weggelassen werden!
Beispiel:
Die absolute Fehlerschranke bei dem Messwert \(12,\!4\) ist \(0,\!1\), aber von \(12,\!40\) ist sie \(0,\!01\).
Es kann auch vorkommen, dass die abolute Fehlerschranke größer als \(1\) ist. Schreibt man den Näherungswert in der Exponentialdarstellung, so gelten die gleichen Genauigkeits- und Rundungskonventionen für die Mantisse wie oben genannt.
Beispiel:
Der mittlere Abstand Erde-Sonne beträgt rund \(1,\!5\cdot 10^{11}\,\text{m}\). Wir können davon ausgehen, dass es sich hier um eine gerundete Zahl handelt, und wir können eine absolute Fehlerschranke von \(0,\!05\cdot 10^{11} = 5\cdot 10^{9}\,\text{m}\) ablesen. (Der korrekte Wert ist \(1,\!495978707\cdot 10^{11}\,\text{m}\).)
Endet eine ganze Zahl, die im Zusammenhang mit Daten, Messungen, etc., auftritt, mit mehreren Nullen, so ist dementsprechend davon auszugehen, dass es sich nicht um eine exakte Zahl handelt, sondern um einen Näherungswert (natürlich stimmt das nicht immer: Ein Meter hat tatsächlich \(100\,\text{cm}\), und nicht nur ungefähr).
Beachte den Unterschied zwischen den beiden Aussagen:
- "Das Buch hat 1382 Seiten." Das würde man für eine exakte Aussage halten. Wenn jemand die Seiten nur ungefähr kennt, hätte die Angabe auf die einzelne Seite genau keinen Sinn, und liefert nur eine irreführende Genauigkeit.
- "Das Buch hat rund 1400 Seiten." Hier wird die Seitenzahl wahrscheinlich nicht exakt sein, sondern nur eine Schätzung. Aus der Behauptung können wir dennoch schließen, dass das Buch nicht nur \(450\) Seiten, auch nicht \(1200\) Seiten, und auch nicht \(2000\) Seiten hat. Vielmehr kann man daraus schließen, dass das Buch wohl zwischen \(1350\) und \(1450\) Seiten hat.
