Darstellung der Summen trigonometrischer Funktionen als Produkt — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Wir wollen die Summe oder Differenz der Sinus- oder Kosinusfunktionen in Faktoren zerlegen.

Betrachten wir den Ausdruck

\sin (s + t) + \sin (s - t)

. Indem man die Formeln von Sinus der Summe und Differenz benutzt, erhält man:

(\sin s \cdot \cos t + \cos s \cdot \sin t) + (\sin s \cdot \cos t - \cos s \cdot \sin t) = 2 \sin s \cdot \cos t

Also ist

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

Man definiert:

x = s + t, y = s - t

Addiert man diese Gleichheiten, bekommt man

x + y = 2 s

, d.h.

s = \frac{x + y}{2}

Subtrahiert man

y = s - t

von

x = s + t

, erhält man

x - y = 2 t

d.h.

t = \frac{x - y}{2}

Man ersetzt in der Formel

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

\(x+t\) durch \(x\), \(s-t\) durch \(y\), \(s\) durch

\frac{x + y}{2}

, \(t\) durch

\frac{x - y}{2}

Dann wird die Formel

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Beispiel:

\sin 6 x + \sin 4 x = 2 \sin \frac{6 x + 4 x}{2} \cos \frac{6 x - 4 x}{2} = 2 \sin 5 x \cdot \cos x

Es gilt ebenso, dass

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

Man betrachtet den Ausdruck \(cos (s+t)+cos (s-t)\). Indem man die Formeln vom Kosinus der Summe und Differenz nutzt, bekommt man:

(\cos s \cdot \cos t - \sin s \cdot \sin t) + (\cos s \cdot \cos t + \sin s \cdot \sin t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Also,

\cos (s + t) + \cos (s - t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Definiert man

x = s + t, y = s - t

so erhält man

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Also,

\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

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1. Darstellung der Summen trigonometrischer Funktionen als Produkt