Der Arkussinus und die Gleichung sin x=a — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Gleichung

\sin x = a

Wenn

|a| > 1

, dann hat die Gleichung

\sin x = a

keine Lösungen.

Wenn

|a| \leq 1

, dann werden die Lösungen der Gleichung durch die Formel

x = {(- 1)}^{k} \arcsin a + π k, k \in ℤ

ausgedrückt.

Hier ist

\arcsin a

der Arkussinus, die Umkehrfunktion der Sinusfunktion.

Wenn

|a| \leq 1

, dann ist

\arcsin a

(Arkussinus

a

) jene Zahl aus dem Intzervall

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, deren Sinus gleich

a

ist.

Anders gesagt:

\arcsin a = x \Rightarrow \sin x = a, |a| \leq 1, x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Beispiel:

Finden wir

\arcsin \frac{1}{2}

Der Ausdruck

\arcsin \frac{1}{2}

zeigt, dass der Sinus des gesuchten Winkels

x

gleich

\frac{1}{2}

ist, d.h.

\sin x = \frac{1}{2}

Wir finden den entsprechenden Punkt auf dem Einheitskreis:

Die Stelle

\frac{1}{2}

auf der

y

-Achse (diese entspricht ja im Einheitskreis dem Sinus) entspricht dem Winkel \(x =\)

\frac{π}{6}

.
Das bedeutet,

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

Wichtig!

Wenn

\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

, dann ist umgekehrt

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

Für jedes

a \in [- 1; 1]

gilt

\arcsin (- a) = - \arcsin a

Sonderfälle:
1.

\sin x = 0 \Rightarrow x = π k, k \in ℤ

\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

\sin x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

Beispiel:

Lösen der Gleichung

\sin x = - \frac{1}{2}

Verwenden wir die Formel

x = {(- 1)}^{k} \arcsin a + π k, k \in ℤ

und erhalten die Antwort

x = {(- 1)}^{k} (- \frac{π}{6}) + π k, k \in ℤ

Quellen:

Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl., 1 Teil. M: 2009, 92 S.

Hast du einen Fehler gefunden?

1. Der Arkussinus und die Gleichung sin x=a