Theorie:

Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekanntes im Argument einer trigonometrischen Funktion enthält.
Die grundsätzlichen Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen sind:
1. Faktorisierung
Wenn es gelingt die Gleichung f(x)=0 in die Form f1(x)f2(x)=0 zu bringen, dann bekommt man entweder f1(x)=0, oder f2(x)=0.
Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind dann jene \(x\), für die entweder f1(x)=0 oder f2(x)=0 (oder beides).
Beispiel:
Folgende Gleichung soll durch Faktorisierung gelöst werden:
sinx13cosx+25=0.
Wir erhalten die zwei Teilgleichungen
sinx=13;cosx=25.
Aus diesen Gleichungen finden wir dementsprechend: x=(1)karcsin13+πk,k;x=±arccos25+2πk,k
Wichtig!
Beim Übergang von der Gleichung f1(x)f2(x)=0 zu den Gleichungen f1(x)=0 und f2(x)=0 muss beachtet werden, dass für Lösungen der Teilgleichungen möglicherweise nicht im Definitionsbereich der Gesamtgleichung (bzw. der jeweils anderen Teilgleichung) liegen. 
Beispiel:
Betrachten wir die Gleichung (tanx)sinx1=0.
 
Aus der Gleichung tanx=0 finden wir: x=πk,k
Aus der Gleichung sinx=1 finden wir: x=π2+2πk,k.
 
Die zweite Schar von Lösungen, x=π2+2πk,k, sind jedoch keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung, da hier der andere Faktor tanx keinen Sinn hat, d.h. die Werte x=π2+2πk,k gehören nicht zum Definitionsbereich.
2. Substitution
Beispiel:
Wir wollen die folgende Gleichung lösen:
2sin2x5sinx+2=0.
Dazu führen wir eine Variable z=sinx ein, dann kann man die Gleichung wie folgt notieren 2z25z+2=0.

Diese quadratische Gleichung kann (z.B. mit der großen Lösungsformel) gelöst werden - ihre Lösungen sind z1=2,z2=12.
Das bedeutet, dass sinx=2, oder sinx=12.
Die Gleichung sinx=2 hat keine Lösungen und aus der Gleichung sinx=12 finden wir: x=(1)karcsin12+πk,k;x=(1)kπ6+πk,k.