Abstand einer Geraden zu einem Punkt (Normalengleichung) — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Der Abstand des Punktes

M_{0} (x_{0}; y_{0})

zur Geraden

ax + bx + c = 0

ist gegeben durch den Ausdruck

\frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Herleitung:

\begin{array}{l} |\vec{O M_{0}}| = |\cos α| \cdot |\vec{OM}| = \\ = \frac{|\vec{OM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{OM}| \cdot |\vec{n}|} \cdot |\vec{OM}| = \\ = \frac{|\vec{OM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \\ = \frac{|(\vec{r_{M}} - \vec{r_{O}}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \\ = \frac{|\vec{r_{M}} \cdot \vec{n} - \vec{r_{O}} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \\ = \frac{|- c - a x_{0} - b y_{0}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \\ = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{array}

Die Gleichung, die man durch Division der allgemeinen Geradengleichung durch

\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}

bekommt (das Vorzeichen muss entgegengesetzt dem Vorzeichen des Koeffizienten \(c\) sein), wird die normierte Gleichung der Geraden genannt.

Hast du einen Fehler gefunden?

9. Abstand einer Geraden zu einem Punkt (Normalengleichung)