Kosinus des Schnittwinkels zweier Geraden — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Der Schnittwinkel zweier Geraden ist der kleinste Winkel, der von ihnen gebildet wird.

Sind die allgemeinen Gleichungen zweier Geraden

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

und

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

so sind ihre Normalvektoren

\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})

und

\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})

Bezeichnet man den Winkel zwischen den Normalvektoren mit

α

, so beträgt sein Kosinus

\cos α = \frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}| |\vec{n_{2}}|}

Der Kosinus des Schnittwinkels zweier Geraden entspricht dem Betrag von

\cos α

. Durch Einsetzen der Koordinaten des Normalvektors erhält man so folgende Formel:

Wichtig!

Der Kosinus des Schnittwinkels zweier Geraden ist

\cos ϕ = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}

Sind die kanonischen Gleichungen zweier Geraden

\frac{x - x_{1}}{p_{1}} = \frac{y - y_{1}}{q_{1}}

und

\frac{x - x_{2}}{p_{2}} = \frac{y - y_{2}}{q_{2}}

gegeben, dann sind ihre Richtungsvektoren

\vec{l_{1}} = (p_{1}; q_{1})

und

\vec{l_{2}} = (p_{2}; q_{2})

, und der Kosinus des Schnittwinkels dieser Geraden kann mit der Formel

\cos ϕ = \frac{|\vec{l_{1}} \cdot \vec{l_{2}}|}{|\vec{l_{1}}| |\vec{l_{2}}|}

oder

\cos ϕ = \frac{|p_{1} p_{2} + q_{1} q_{2}|}{\sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}} \sqrt{p_{2}^{2} + q_{2}^{2}}}

berechnet werden.

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8. Kosinus des Schnittwinkels zweier Geraden