Parametergleichung — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Das Gleichungssystem

\{\begin{matrix} x = x_{0} + a_{x} t \\ y = y_{0} + a_{y} t \end{matrix}

($t\in \mathbb{R}$), heißt Parametergleichung der Geraden, die durch den Punkt

M_{0} (x_{0}; y_{0})

verläuft und deren Richtungsvektor

\vec{a} = (a_{x}; a_{y})

ist.

Der Punkt

M (x; y)

gehört zur Geraden nur dann, wenn die Vektoren

\vec{M_{0} M}

und

\vec{a}

kollinear sind, d.h. für

\vec{M_{0} M} = t \vec{a}

. Beim Umschreiben dieser Gleichung in die Koordinatenform erhält man

\{\begin{matrix} x - x_{0} = t a_{x} \\ y - y_{0} = t a_{y} \end{matrix}

das ist genau die obige Parameterdarstellung.

Man kann eine parametrische Geradengleichung auf mehrere Arten in eine einfache (explizite) Geradengleichung umwandeln:

Ausdrücken des $t$-Wertes aus einer der beiden Komponenten und Einsetzen dieses Wertes in die andere Komponente.
Aufstellen der kanonische Geradengleichung durch den Punkt $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ und mit dem Richtungsvektor $\vec{a} = (a_{x}; a_{y})$ .

Beispiel:

Bestimme die allgemeine Geradengleichung der Geraden, die in folgender Parameterform gegeben ist:

\{\begin{matrix} x = 3 + 4 t \\ y = - 2 + 7 t \end{matrix}

Hier ist

M_{0} (3; - 2)

ein Punkt der Geraden und der Richtungsvektor der Geraden ist

\vec{a} = (4; 7)

. Also ist die kanonische Geradengleichung

\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{7}

Die parametrische Darstellung der Gleichung kann auch als Bewegungslinie eines Körpers mit dem konstanten Geschwindigkeitsvektor

\vec{a} = (a_{x}; a_{y})

interpretiert werden, der sich zur Zeit

t = 0

im Punkt

M_{0} (x_{0}; y_{0})

befindet.

Wichtig!

Es ist

(\vec{r} - \vec{r_{0}}) ∥ \vec{a}

, wobei

\vec{r}

der Ortsvektor der Punkte auf der Geraden ist,

\vec{r_{0}}

der Ortsvektor des fixierten Punktes und

\vec{a}

der Richtungsvektor der Geraden.

Hast du einen Fehler gefunden?

7. Parametergleichung