Theorie:
Das Produkt des Vektors mit der Zahl ist jener Vektor , für den gilt .
Dabei gilt:
Dabei gilt:
1) für sind die Vektoren und gleichgerichtet (parallel);
2) für sind die Vektoren und entgegengerichtet (antiparallel).
Für ergibt sich , d.h. , weil der Nullvektor der einzige Vektor mit der Länge \(0\) ist.
Beispiel:
Der Vektor ist zweimal länger als der Vektor und zeigt in dieselbe Richtung.
Beispiel:
Der Vektor oder ist dreimal kürzer als der Vektor (oder hat die Länge, die ein Drittel von der Länge des Vektors beträgt) und ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet.
Beispiel:
1) Multipliziert man einen beliebigen Vektor mit null, bekommt man den Nullvektor: .
2) Die Multiplikation mit ändert nichts: .
3) Multipliziert man den Vektor mit , bekommt man den zu ihm entgegengesetzten Vektor, weil nur seine Richtung entgegengesetzt wird: .
Wichtig!
Ist der Vektor kollinear zum Nichtnullvektor , gibt es eine Zahl , mit .
Ihr absoluter Wert wird folgendermaßen berechnet:
(Folgerung aus der Gleichung ). Das Vorzeichen ist aber von der Orientierung der beiden Vektoren abhängig (sind sie gleichgerichtet, ist das Vorzeichen positiv; sind sie entgegengerichten, ist das Vorzeichen negativ).
Beispiel:
Der Vektor ist zweimal länger als der Nichtnullvektor . Bestimme die Zahl , die erfüllt.
, d.h. die möglichen Werte sind und .
Sind die Vektoren entgegengerichtet, braucht man nur den negativen Wert; sind die Vektoren gleichgerichtet, braucht man nur den positiven Wert.