Lineare Ausdrücke mit Vektoren — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:
1)

k_{1} (k_{2} \vec{a}) = (k_{1} k_{2}) \vec{a}

k_{1} \vec{a} + k_{2} \vec{a} = (k_{1} + k_{2}) \vec{a}

k \vec{a} + k \vec{b} = k (\vec{a} + \vec{b})

Deshalb kann man Ausdrücke mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar auf dieselbe Weise wie die gewöhnlichen algebraischen Ausdrücke vereinfachen.

Beispiel:

2 (\vec{a} - \vec{b}) + (2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = \vec{a}

Zuerst werden die beiden Klammern aufgelöst:

2 (\vec{a} - \vec{b}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b}

und

(2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - \vec{a}

.

Danach gruppiert man die ähnlichen Summanden und vereinfacht den Ausdruck:

2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = (2 - 1) \vec{a} + (- 2 + 2) \vec{b} = 1 \vec{a} + 0 \vec{b} = \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}

(Die Addition des Nullvektors ändert nichts).

Beispiel:

\vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}

Man löst die Klammern auf:

\frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \cdot 2 \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - (\frac{1}{2} \cdot 2) \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - 1 \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}

Man gruppiert die ähnlichen Summanden:

\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = (1 - 1) \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = 0 \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \vec{0} + \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{b}

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