2. Eigenschaften der Funktion y=sinx und ihr Graph

Man kann den Graphen dieser Funktion in gleicher Weise, wie den Graphen der Funktion $y=\mathit{cosx}$ erstellen, indem man mit der Erstellung auf der Strecke $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ beginnt. 

Es ist aber einfacher die Formel $\mathit{sinx}=\mathit{cos}\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ zu nutzen, denn sie zeigt, dass man den Graphen der Funktion $y=\mathit{sinx}$ bekommt, indem man den Graphen der Funktion $y=\mathit{cosx}$ um $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ entlang der \(x\)-Achse nach rechts verschiebt.  

 

Der Graph der Funktion $y=\mathit{sinx}$

 

1. Definitionsbereich: die Menge $\mathrm{ℝ}$ aller reellen Zahlen.

2. Wertebereich: das Intervall $\left[-1;1\right]$

3. Die Funktion $y=\mathit{sinx}$ ist periodisch, mit Periode \(p =\)$2\mathrm{\pi }$ 

4. Die Funktion $y=\mathit{sinx}$ ist eine ungerade Funktion, d.h. \(sin(-x) = -sin(x)\).

5. Die Funktion $y=\mathit{sinx}$ nimmt:
- den Wert \(0\) an, wenn $x=\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. 
- den größten Wert \(1\) an, wenn $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. 
- den kleinsten Wert \(-1\) an, wenn $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. 
- positive Werte im Intervall $\left(0;\mathrm{\pi }\right)$ und in den Intervallen, die man anhand der Verschiebung des Intervalls um $2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ bekommt, an.

- negative Werte im Intervall $\left(\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ und in den Intervallen, die man anhand der Verschiebung des Intervalls um $2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ bekommt, an.

6. Die Funktion $y=\mathit{sinx}$

- steigt im Intervall

 $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ und in den Intervallen, die man anhand der Verschiebung des Intervalls um $2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ erhält.
- fällt im Intervall

 $\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right]$ und in den Intervallen, die man anhand der Verschiebung des Intervalls um $2\mathrm{\pi }n,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, erhält.