Polardarstellung von komplexen Zahlen

Didaktische Hinweise:

Didaktische Hinweise

Nummer Name Beschreibung
1. Didaktische Hinweise

Theorie

Nummer Name Beschreibung
1. Geometrische Anschauung Interpretation komplexer Zahlen als Punkte in der komplexen Ebene
2. Wiederholung Winkelfunktionen Wiederholung von Winkelfunktionen, Additionstheoreme
3. Polardarstellung Polardarstellung komplexer Zahlen
4. Multiplikation in der Polardarstellung Geometrische Anschauung der Multiplikation komplexer Zahlen
5. Quadratwurzeln komplexer Zahlen Erklärung des Ziehens von Quadratwurzeln in C
6. Die Eulersche Formel Erklärung der Eulerschen Formel und der Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

Übungsbeispiele

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Geometrisches Erkennen von komplexen Zahlen 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Grafisches Auslesen einer in der Zahlenebene eingezeichneten komplexen Zahl
2. Umrechnung aus der Polardarstellung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Komplexe Zahl in Polardarstellung gegeben, kartesische Darstellung ist zu finden (TR erforderlich)
3. Umrechnung von Koordinaten 1 - Rezeptiv leicht 1,5♦ Umrechnung von Kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (TR benötigt)
4. Multiplikation in Polardarstellung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Multiplikation zweier komplexer Zahlen, die in Polardarstellung gegeben sind
5. Division in Polardarstellung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Division zweier komplexer Zahlen in Polardarstellung
6. Polardarstellung zu Exponentialdarstellung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Umrechnung von Polardarstellung in die Exponentialdarstellung (Taschenrechner notwendig)
7. Exponentialdarstellung zu kartesischer Darstellung 2 - interpretativ leicht 1,5♦ Umrechnung einer in Exponentialdarstellung gegebenen komplexen Zahl in die kartesische Darstellung (Taschenrechner erforderlich)
8. Umrechnung der kartesischen Darstellung in die Exponentialdarstellung 2 - interpretativ leicht 1,5♦ Umrechnung von kartesischer Darstellung in die Exponentialdarstellung (Taschenrechner notwendig)
9. Addition in Polardarstellung 2 - interpretativ mittel 2♦ Zwei komplexe Zahlen sind in Polardarstellung gegeben, die Summe der beiden in kartesischer Darstellung ist gesucht (TR vonnöten).
10. Rotationen 2 - interpretativ mittel 2♦ Zu gegebenem Winkel die komplexe Zahl finden, die um den Winkel rotiert (TR vonnöten).
11. Wurzelziehen in Polardarstellung 2 - interpretativ mittel 2♦ Wurzelziehen in Polardarstellung
12. Gemischte Darstellung 2 - interpretativ mittel 2♦ Argument und Imaginärteil gegeben, Realteil gesucht
13. Potenzen komplexer Zahlen 3 - analytisch schwer 3♦ Eine komplexe Zahl ist in Polardarstellung gegeben. Gesucht ist eine Potenz davon, sodass das Resultat ein gewünschtes Argument hat.
14. Logarithmische Spirale 3 - analytisch schwer 4♦ Bestimmung eines Parameters einer logarithmischen Spirale in der Gaußschen Ebene (TR erforderlich)
15. Hyperbel in der Zahlenebene 3 - analytisch schwer 4♦ Die Parametrisierung einer Hyperbel ist gegeben. Finde den Punkt mit einem gewissen Argument.
16. n-te Einheitswurzeln 3 - analytisch schwer 4♦ Berechnen von n-ten Wurzeln von Eins

Zusätzliche Beispiele (nur für Lehrende sichtbar)

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Division komplexer Zahlen Andere mittel 2,5♦ Division zweier komplexer Zahlen, in kartesischer Darstellung gegeben, Ergebnis in Polarkoordinaten gesucht (TR notwendig)
2. Lineare Gleichung Andere mittel 2♦ Lösen linearer Gleichung der Form kx=c in Polardarstellung

WissensCheck

Nummer Name Vorgeschlagene Zeit: Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Polardarstellung von komplexen Zahlen 1 00:10:00 mittel 7♦ Grafisches Auslesen einer in der Zahlenebene eingezeichneten komplexen Zahl. Division zweier komplexer Zahlen in Polardarstellung. Zwei komplexe Zahlen sind in Polardarstellung gegeben. Die Summe der beiden in kartesischer Darstellung ist gesucht. TR vonnöten. Eine komplexe Zahl ist in Polardarstellung gegeben. Gesucht ist eine Potenz davon, sodass das Resultat ein gewünschtes Argument hat.
2. Polardarstellung von komplexen Zahlen 2 00:12:00 mittel 8♦ Komplexe Zahl in Polardarstellung gegeben, kartesische Darstellung ist zu finden. TR erforderlich. Umrechnung von Polardarstellung in die Exponentialdarstellung, Taschenrechner notwendig. Zu gegebenem Winkel die komplexe Zahl finden, die um den Winkel rotiert. TR vonnöten. Bestimmung eines Parameters einer logarithmischen Spirale in der Gaußschen Ebene. TR erforderlich.

Aufgaben (für Schüler nicht sichtbar)

Nummer Name Vorgeschlagene Zeit: Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Polardarstellung von komplexen Zahlen 1 00:00:00 mittel 11,5♦ Umrechnung von Kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten. TR benötigt. Umrechnung einer in Exponentialdarstellung gegebenen komplexen Zahl in die kartesische Darstellung. Taschenrechner erforderlich. Wurzelziehen in Polardarstellung. Division zweier komplexer Zahlen, in kartesischer Darstellung gegeben, Ergebnis in Polarkoordinaten gesucht. TR notwendig. Die Parametrisierung einer Hyperbel ist gegeben. Finde den Punkt mit einem gewissen Argument.
2. Polardarstellung von komplexen Zahlen 2 00:00:00 mittel 10,5♦ Multiplikation zweier komplexer Zahlen, die in Polardarstellung gegeben sind. Umrechnung von kartesischer Darstellung in die Exponentialdarstellung, Taschenrechner notwendig. Argument und Imaginärteil gegeben. Realteil ist zu finden. Lösen linearer Gleichung der Form kx=c in Polardarstellung. Berechnen von n-ten Wurzeln von Eins.

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