1. Funktionsgraphen zeichnen

Aufgabe:

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

Lösung 1.

Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion. Dieser wird durch die Bedingungen $x\ne \mathrm{1,}x\ne -1$bestimmt. Also ist $D(f)=(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$.

2. Man untersucht die Funktion auf die Geradheit:

$f(-x)=\frac{{\left(-x\right)}^2+1}{{\left(-x\right)}^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x)$

Die Funktion ist also gerade, ihr Graph ist symmetrisch zur \(y\)-Achse, deshalb genügt es, den Zweig des Graphen für $x\ge 0$ zu zeichnen.

3. Man findet die Asymptoten. Die senkrechte Asymptote ist die Gerade \(x=1\), denn für diesen \(x\)-Wert ist der Nenner null und der Zähler ungleich null. Um die waagrechte Asymptote zu finden, berechnet man $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}f(x)$:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$

Also ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote des Funktionsgraphen.

4. Man findet die kritischen Punkte, Extremwerte und Intervalle der Monotonie der Funktion:

 $y^{\prime }={\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)}^{\prime }=\frac{{{(x}^2+1)}^{\prime }\cdot (x^2-1)-(x^2+1)\cdot {(x^2-1)}^{\prime }}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{2x\cdot (x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$.

Die kritischen Punkte findet man, indem man $y^{\prime }=0$ löst. Es ergibt sich: \(-4x=0\), also \(x=0\). Für \(x<0\) ergibt sich:$y^{\prime }>0$; für \(x>0\) ergibt sich: $y^{\prime }<0$. Daher ist \(x=0\) das Maximum der Funktion, mit$y_{\mathit{max}}=f(0)=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1$.

Für \(x>0\) ergibt sich: $y^{\prime }<0$; aber man muss die nicht definierte Stelle \(x=1\) berücksichtigen. Wir erhalten somit, dass die Funktion im Intervall $\left[0;1)\right.$ und im Intervall $(1;+\mathrm{\infty })$ fällt.

5. Man erstellt eine Wertetabelle der Funktion $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ für $x\ge 0$:

6. Indem man diese Punkte im Koordinatensystem einträgt und berücksichtigt, dass \((0;-1)\) das Maximum, \(y=1\) die waagrechte Asymptote und \(x=1\) die senkrechte Asymptote ist, zeichnet man die Zweige des gesuchten Graphen für $x\ge 0$. Schließlich fügt man die Zweige hinzu, die bezüglich der \(y\)-Achse symmetrisch sind und erhält den Graphen: