2. Untersuchung der Funktionen auf Monotonie

Theorie:

Satz 1. Wird die Ungleichung f′(x)≥0  für alle Punkte eines offenen Intervalls \(X\) erfüllt und gilt f′(x)=0  nicht für das ganze Intervall , wächst die Funktion y=f(x) in diesem Intervall.

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Satz 2. Wird die Ungleichung f′(x)≤0 für alle Punkte des offenen Intervalls \(X\) erfüllt und gilt f′(x)=0 nicht für das ganze Intervall, so fällt die Funktion y=f(x) in diesem Intervall.

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Also:
wenn es eine Ableitung im Intervall \(I=(a,b)\) gibt und wenn in diesem Intervall
1) f′(x)≥0, dann fällt die Funktion nicht in \(I\);
2) f′(x)≤0, dann steigt die Funktion nicht in \(I\);;
3) f′(x)>0, dann steigt die Funktion in \(I\);;
4) f′(x)<0, dann fällt die Funktion in \(I\).
 
Beispiel:
Aufgabe:
Untersuche die Funktion f(x)=x3−4x2−16x+17 auf Monotonie.
 
Zuerst wird die Ableitung bestimmt: f′(x)=(x3−4x2−16x+17)′=3x2−8x−16.
Das ist eine Parabel, die die \(x\)-Achse in den Punkten x1=−43 und x2=4 schneidet. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Deshalb ist die Ableitung negativ im Intervall −43;4 (die Funktion fällt) und ist positiv in den Intervallen −∞;−43 und (4;+∞) (die Funktion steigt).
 
Wir erhalten somit:
Die Funktion f(x)=x3−4x2−16x+17 steigt in den Intervallen −∞;−43 und (4;+∞), fällt im Intervall −43;4.
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