Bestimmen der Extremstellen einer Funktion — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Satz 3. Wenn die Funktion $y=f(x)$ eine Extremstelle im Punkt $x = x_{0}$ hat, ist die Ableitung in diesem Punkt entweder null oder existiert nicht.

Satz 4. Man nimmt an, dass die Funktion $y = f (x)$ stetig im Intervall $X$ ist und dass sie einen Sattelpunkt oder einen kritischen Punkt $x = x_{0}$ in $X$ hat. Dann gilt:

а ) wenn der Punkt eine Umgebung besitzt, in der für $x < x_{0}$ die Ungleichung $f' (x) < 0$ und für $x > x_{0}$ die Ungleichung $f' (x) > 0$ erfüllt wird, dann ist $x = x_{0}$ ein Tiefpunkt der Funktion $y = f (x)$ ;

b ) wenn der Punkt eine Umgebung besitzt, in der für $x < x_{0}$ die Ungleichung , und für $x > x_{0}$ die Ungleichung $f' (x) < 0$ erfüllt wird, ist $x = x_{0}$ ein Hochpunkt der Funktion $y = f (x)$ ;

c) wenn der Punkt eine Umgebung besitzt, in der die Vorzeichen der Ableitung rechts und links ihm gleich sind, hat die Funktion in $x_{0}$ keine Extremstelle.

Um die Extremwerte (Minima und Maxima) der Funktion $f (x)$ zu bestimmen, findet man zuerst die kritischen Punkte, in denen $f' (x) = 0$ oder in denen es keine Ableitung gibt. Dann kann man die Intervalle bestimmen, in denen die Ableitung ein konstantes Vorzeichen hat.

Falls die Ableitung in einem kritischen Punkt

1) vom Negativen ins Positive wechselt, ist der Punkt ein lokales Minimum;

2) vom Positiven ins Negative wechselt, ist der Punkt ein lokales Maximum;

3) das Vorzeichen nicht ändert, ist dieser Punkt keine Extremstelle.

Beispiel:

Aufgabe:

Finde die Extremwerte der Funktion

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

Die Ableitung ist gegeben als

f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

, also sind $x=0$ und $x=2$ die kritischen Punkte der Funktion. Der Punkt $x=1$ liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion.

Die beiden Punkte teilen die Zahlengerade in vier Intervalle:

(- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)

. Das Vorzeichen des ersten Intervalls ist positiv (z.B.: $f(-1)=0.75$). Das Vorzeichen des zweiten Intervalls ist negativ, des dritten Intervalls negativ und des vierten positiv.

$(- \infty; 0)$	$(0; 1)$	$(1; 2)$	$(2; + \infty)$
+	-	-	+

Also ändert die Ableitung ihr Vorzeichen in den Punkten $x=0$ und $x=2$.

Im Punkt $x=0$ wird vom Positiven ins Negative gewechselt, also ist der Punkt ein lokales Maximum mit dem Funktionswert $f(0)=0$.

Im Punkt $x=2$ wird das Minuszeichen zum Pluszeichen, also ist der Punkt ein lokales Minimum mit dem Funktionswert $f(2)=4$.

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