Theorie:

Wir haben nun sogenannte natürliche Einheiten eingeführt, in denen Längen und Zeiten dieselbe Dimension haben. Doch: Ist das nicht eine bloße mathematische Spielerei? Ähnliches könnte man doch mit beliebigen anderen Variablen und Koordinaten machen, oder nicht?
 
Die Bedeutung unserer neuen Koordinaten wird etwas deutlicher, wenn wir die Formeln, die wir in der Relativitätstheorie kennengelernt haben, mit ihnen darstellen. Wir formen also all diese Gleichungen (z.B. durch Erweitern von Brüchen) so dar, dass stets \(c t\) (und nie \(t\) alleine) die Zeit misst.
 
Lorentztransformation
Wir erhalten für die Lorentztransformation in unseren natürlichen Einheiten:
\(x' = \gamma(x - v (ct))\)
\(y' = y\)
\(z' = z\)
\((ct)' = \gamma((ct) - v x)\).
wobei \(v\) unser neues an der Lichtgeschwindigkeit gemessene Geschwindigkeitsmaß ist und daher
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\).
 
Wir stellen fest, dass die Formeln für \(x'\) und \((ct)'\) einander sehr ähnlich sind - sie sind vollkommen symmetrisch in \(x\) und \(ct\). Vertauschen wir alle \(x\) mit \(ct\), so erhalten wir wieder dieselben Formeln!
 
Das bestätigt unseren bisherigen Eindruck, dass Längen und Zeiten (Raum und Zeit) sich formal sehr ähnlich, ja, sogar gleich verhalten.
 
Wichtig!
Raum und Zeit sind nicht voneinander trennbar. Wir sprechen daher auch von der Raumzeit, in der diese vier Dimensionen vereint vorliegen.
 
bent clock 2.jpg
 
Zeitdilatation und Lorentzkontraktion
Der Vollständigkeit halber wollen wir uns auch noch ansehen, wie andere Formeln in unseren neuen Einheiten aussehen. Insbesondere die Zeitdilatation und die Längenkontraktion haben wir bereits als verwandte Phänomene erkannt - das sollte also auch in unseren neuen Einheiten der Fall sein.
 
Wir erhalten durch unsere Umformung die Formeln:
\((ct)' = \frac{c t}{\gamma}\)
und
\(s' = \frac{s}{\gamma}\)
mit \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\)
wobei hier \(v\) unsere neue an der Lichtgeschwindigkeit gemessene Geschwindigkeit ist.
 
Diese beiden Formeln ändern sich also nicht sehr. Sie waren einander vorher schon sehr ähnlich, nun haben sie auch dieselbe physikalische Dimension (nämlich jene einer Länge).