Allgemeine Gleichungen und Lösungsmethoden

Didaktische Hinweise:

Didaktische Hinweise

Nummer Name Beschreibung
1. Didaktische Hinweise

Theorie

Nummer Name Beschreibung
1. Ersetzen der Gleichung h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x) Erste Methode der Lösung von Gleichungen: Ersetzen einer Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x)
2. Gleichwertigkeit von Gleichungen Verständnis der Gleichwertigkeit von Gleichungen, sechs Theoreme
3. Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung Lösung von Gleichungen durch Faktorisieren: Theorie und Beispiel
4. Nicht-äquivalente Umformungen Umgang mit falschen bzw. im Lauf der Lösung verlorenen Lösungen
5. Gleichungslösen durch Variablensubstitution Biquadratische Gleichungen, die Methode der Variablensubstitution
6. Grafisches Gleichungslösen Lösen von Gleichungen auf grafischem Weg

Übungsbeispiele

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Polynom bilden 2 - interpretativ leicht 1♦ Aus bekannten Lösungen soll ein Polynom gebildet werden.
2. Auswahl einer äquivalenten Gleichung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Mithilfe der Verwendung der sechs Theoreme über die Gleichwertigkeit von Gleichungen wird darüber geurteilt, welcher Gleichung die gegebene Gleichung äquivalent ist.
3. Bekannte Lösung 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Aus den vorgeschlagenen Gleichungen wird eine Gleichung ausgewählt, deren Lösung das gegebene Zahlenpaar ist.
4. Ersetzen der Gleichung durch eine äquivalente Gleichung 2 - interpretativ leicht 1♦ Übergang von einer Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) zur Gleichung f(x)=g(x)
5. Gleichung dritten Grades, Produkt ist null 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Lösung der Gleichung des dritten Grades, die bereits faktorisiert ist
6. Gleichung mit einer Funktion der Art |x|=a 2 - interpretativ leicht 1♦ Finden des Produktes der Lösungen einer Gleichung der Art |x|=a
7. Gleichwertigkeit der Gleichungen 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Gleichwertigkeit trigonometrischer, exponentieller und logarithmischer Gleichungen
8. Sind die Gleichungen äquivalent? 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Die (Nicht-)Gleichwertigkeit von Gleichungen soll festgestellt werden.
9. Überprüfung der Lösungen 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Jene Zahl, die nicht Lösung der Gleichung ist, soll ausgewählt werden.
10. Ganzzahlige Lösungen 2 - interpretativ mittel 2♦ Die ganzzahligen Lösungen eines gegebenen Polynoms sollen ermittelt werden.
11. Betragsgleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung einer Gleichung mit Beträgen
12. Fragen nach der Gleichheit mit einem Betrag 1 - Rezeptiv mittel 2♦ Theoretische Fragen nach der Gleichheit mit einem Betrag
13. Gleichung der Form |f(x)|=|g(x)| 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung einer Gleichung der Form |f(x)|=|g(x)|
14. Gleichung der Form |f(x)|=a 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung der Gleichung der Form |f(x)|=a
15. Gleichung sechsten Grades, Substitutionsmethode 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung der Gleichung sechsten Grades durch die Substitutionsmethode
16. Irrationale Gleichung (quadratisch) 2 - interpretativ mittel 2,5♦ Lösung der irrationalen Gleichung (Formel des Quadrats der Summe und der Differenz)
17. Irrationale Gleichung, Methode der Einführung einer neuen Variablen 2 - interpretativ mittel 2,5♦ Lösung einer irrationalen Gleichung durch die Methode der Einführung einer neuen Variablen.
18. Irrationale Gleichung, Substitution 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung einer irrationalen Gleichung durch Substitution.
19. Logarithmische Gleichung, Substitution (2) 2 - interpretativ mittel 2,5♦ Lösung einer logarithmischen Gleichung durch Substitution.
20. Löse die Gleichung grafisch 2 - interpretativ mittel 2♦ Grafisches Lösen der Gleichung
21. Löse eine irrationale Gleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Im Laufe der Lösung einer irrationalen Gleichung, erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Lösungen schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung.
22. Lösung der Gleichung, Ersetzen durch eine gleichwertige Gleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Für die Lösung der Gleichung wird die Methode der Ersetzung durch eine gleichwertige Gleichung angewendet, d.h. von der Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) gehen wir zur Gleichung f(x)=g(x) über.
23. Gleichung dritten Grades, Gruppierungsmethode 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung der Gleichung des dritten Grades durch Faktorisierung mittels Gruppierungsmethode
24. Hat die Gleichung eine Lösung? 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung einer Gleichung unter Berücksichtigung der Definitionsmenge
25. Biquadratische Gleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung einer biquadratischen Gleichung durch Substitution
26. Lösung einer irrationalen Gleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Bei der Lösung einer irrationalen Gleichung, in deren rechten Teil ein Ausdruck mit einer Variablen gegeben ist, erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Lösungen schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung.
27. Gleichung fünften Grades 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung der Gleichung fünften Grades, Verwendung einer Kubikwurzel (Produkt ist gleich 0)
28. Lösung der logarithmischen Gleichung 2 - interpretativ mittel 2♦ Im Laufe der Lösung einer logarithmischen Gleichung erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Wurzeln schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung.
29. Gleichung n-ten Grades 2 - interpretativ mittel 2♦ Lösung der Gleichung n-ten Grades
30. Logarithmische Gleichung mit unbekannter Basis 3 - analytisch schwer 4♦ Eine logarithmische Gleichung mit Variable in der Logarithmenbasis soll gelöst werden.
31. Löse die Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen 3 - analytisch schwer 3♦ Lösung einer Gleichung zweiten Grades mit zwei Variablen in ganzen Zahlen
32. Produkt gleich null 3 - analytisch schwer 4♦ Das Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks ist 0. (trigonometrische Formeln notwendig)
33. Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks 3 - analytisch schwer 4♦ Das Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks ist null - die Gleichung soll gelöst werden.
34. Trigonometrische Gleichung, Faktorisierung 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung der trigonometrischen Gleichung durch Faktorisierung
35. Gleichung dritten Grades, Faktorisierung 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung der Gleichung dritten Grades durch Faktorisierung
36. Gleichung höheren Grades 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung einer unvollständigen Polynomialgleichung höheren Grades durch Faktorisierung
37. Irrationale Gleichung 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung einer irrationalen Gleichung
38. Gleichung mit zwei Beträgen 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung einer Gleichung mit zwei Betragsfunktionen
39. Quadratische Gleichung mit einem Betrag 2 - interpretativ schwer 3♦ Lösung einer quadratischen Gleichung mit einem Betrag

Zusätzliche Beispiele (nur für Lehrende sichtbar)

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Äquivalente Gleichungen Andere leicht 1♦ Ermitteln der Lösung der Gleichung als Ergebnis des Übergangs von der Form h(f(x))=h(g(x)) zu f(x)=g(x). Im Laufe der Modifikationen wird eine quadratische Gleichung gelöst.
2. Auswahl der Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist Andere leicht 1♦ Es wird eine Gleichung aus den vorgeschlagenen Gleichungen ausgewählt, die der gegebenen äquivalent ist.
3. Gleichung dritten Grades, Faktorisierung Andere mittel 2♦ Lösung der Gleichung dritten Grades durch Faktorisierung
4. Irrationale Gleichung, Faktorisierung Andere mittel 2♦ Lösung einer irrationalen Gleichung durch Faktorisierung
5. Exponentialgleichung, Faktorisierung Andere mittel 2♦ Lösung der Exponentialgleichung durch Faktorisierung
6. Trigonometrische Gleichung, Substitutionsmethode Andere mittel 2♦ Lösung einer trigonometrischen Gleichung durch die Substitutionsmethode
7. Irrationale Gleichung (doppelte Potenzierung) Andere schwer 3♦ Irrationale Gleichung, die zweimal quadriert wird
8. Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen Andere schwer 3♦ Lösung der Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen mit zwei Variablen

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