Didaktische Hinweise:
Didaktische Hinweise
| Nummer | Name | Beschreibung |
|---|---|---|
| Nummer 1. | Name Didaktische Hinweise | Beschreibung |
Theorie
| Nummer | Name | Beschreibung |
|---|---|---|
| Nummer 1. | Name Ersetzen der Gleichung h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x) | Beschreibung Erste Methode der Lösung von Gleichungen: Ersetzen einer Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x) |
| Nummer 2. | Name Gleichwertigkeit von Gleichungen | Beschreibung Verständnis der Gleichwertigkeit von Gleichungen, sechs Theoreme |
| Nummer 3. | Name Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung | Beschreibung Lösung von Gleichungen durch Faktorisieren: Theorie und Beispiel |
| Nummer 4. | Name Nicht-äquivalente Umformungen | Beschreibung Umgang mit falschen bzw. im Lauf der Lösung verlorenen Lösungen |
| Nummer 5. | Name Gleichungslösen durch Variablensubstitution | Beschreibung Biquadratische Gleichungen, die Methode der Variablensubstitution |
| Nummer 6. | Name Grafisches Gleichungslösen | Beschreibung Lösen von Gleichungen auf grafischem Weg |
Übungsbeispiele
| Nummer | Name | Art | Schwierigkeitsgrad | Punkte | Beschreibung |
|---|---|---|---|---|---|
| Nummer 1. | Name Polynom bilden | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Aus bekannten Lösungen soll ein Polynom gebildet werden. |
| Nummer 2. | Name Auswahl einer äquivalenten Gleichung | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Mithilfe der Verwendung der sechs Theoreme über die Gleichwertigkeit von Gleichungen wird darüber geurteilt, welcher Gleichung die gegebene Gleichung äquivalent ist. |
| Nummer 3. | Name Bekannte Lösung | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Aus den vorgeschlagenen Gleichungen wird eine Gleichung ausgewählt, deren Lösung das gegebene Zahlenpaar ist. |
| Nummer 4. | Name Ersetzen der Gleichung durch eine äquivalente Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Übergang von einer Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) zur Gleichung f(x)=g(x) |
| Nummer 5. | Name Gleichung dritten Grades, Produkt ist null | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung des dritten Grades, die bereits faktorisiert ist |
| Nummer 6. | Name Gleichung mit einer Funktion der Art |x|=a | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Finden des Produktes der Lösungen einer Gleichung der Art |x|=a |
| Nummer 7. | Name Gleichwertigkeit der Gleichungen | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Gleichwertigkeit trigonometrischer, exponentieller und logarithmischer Gleichungen |
| Nummer 8. | Name Sind die Gleichungen äquivalent? | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Die (Nicht-)Gleichwertigkeit von Gleichungen soll festgestellt werden. |
| Nummer 9. | Name Überprüfung der Lösungen | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Jene Zahl, die nicht Lösung der Gleichung ist, soll ausgewählt werden. |
| Nummer 10. | Name Ganzzahlige Lösungen | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Die ganzzahligen Lösungen eines gegebenen Polynoms sollen ermittelt werden. |
| Nummer 11. | Name Betragsgleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer Gleichung mit Beträgen |
| Nummer 12. | Name Fragen nach der Gleichheit mit einem Betrag | Art 1 - Rezeptiv | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Theoretische Fragen nach der Gleichheit mit einem Betrag |
| Nummer 13. | Name Gleichung der Form |f(x)|=|g(x)| | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer Gleichung der Form |f(x)|=|g(x)| |
| Nummer 14. | Name Gleichung der Form |f(x)|=a | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung der Form |f(x)|=a |
| Nummer 15. | Name Gleichung sechsten Grades, Substitutionsmethode | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung sechsten Grades durch die Substitutionsmethode |
| Nummer 16. | Name Irrationale Gleichung (quadratisch) | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2,5♦ | Beschreibung Lösung der irrationalen Gleichung (Formel des Quadrats der Summe und der Differenz) |
| Nummer 17. | Name Irrationale Gleichung, Methode der Einführung einer neuen Variablen | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2,5♦ | Beschreibung Lösung einer irrationalen Gleichung durch die Methode der Einführung einer neuen Variablen. |
| Nummer 18. | Name Irrationale Gleichung, Substitution | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer irrationalen Gleichung durch Substitution. |
| Nummer 19. | Name Logarithmische Gleichung, Substitution (2) | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2,5♦ | Beschreibung Lösung einer logarithmischen Gleichung durch Substitution. |
| Nummer 20. | Name Löse die Gleichung grafisch | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Grafisches Lösen der Gleichung |
| Nummer 21. | Name Löse eine irrationale Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Im Laufe der Lösung einer irrationalen Gleichung, erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Lösungen schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung. |
| Nummer 22. | Name Lösung der Gleichung, Ersetzen durch eine gleichwertige Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Für die Lösung der Gleichung wird die Methode der Ersetzung durch eine gleichwertige Gleichung angewendet, d.h. von der Gleichung der Form h(f(x))=h(g(x)) gehen wir zur Gleichung f(x)=g(x) über. |
| Nummer 23. | Name Gleichung dritten Grades, Gruppierungsmethode | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung des dritten Grades durch Faktorisierung mittels Gruppierungsmethode |
| Nummer 24. | Name Hat die Gleichung eine Lösung? | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer Gleichung unter Berücksichtigung der Definitionsmenge |
| Nummer 25. | Name Biquadratische Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer biquadratischen Gleichung durch Substitution |
| Nummer 26. | Name Lösung einer irrationalen Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Bei der Lösung einer irrationalen Gleichung, in deren rechten Teil ein Ausdruck mit einer Variablen gegeben ist, erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Lösungen schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung. |
| Nummer 27. | Name Gleichung fünften Grades | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung fünften Grades, Verwendung einer Kubikwurzel (Produkt ist gleich 0) |
| Nummer 28. | Name Lösung der logarithmischen Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Im Laufe der Lösung einer logarithmischen Gleichung erhält man eine quadratische Gleichung. Bei der Lösung und Überprüfung der Wurzeln schlussfolgert man über deren Zugehörigkeit zur Lösung der Gleichung. |
| Nummer 29. | Name Gleichung n-ten Grades | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung n-ten Grades |
| Nummer 30. | Name Logarithmische Gleichung mit unbekannter Basis | Art 3 - analytisch | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 4♦ | Beschreibung Eine logarithmische Gleichung mit Variable in der Logarithmenbasis soll gelöst werden. |
| Nummer 31. | Name Löse die Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen | Art 3 - analytisch | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung einer Gleichung zweiten Grades mit zwei Variablen in ganzen Zahlen |
| Nummer 32. | Name Produkt gleich null | Art 3 - analytisch | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 4♦ | Beschreibung Das Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks ist 0. (trigonometrische Formeln notwendig) |
| Nummer 33. | Name Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks | Art 3 - analytisch | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 4♦ | Beschreibung Das Produkt eines trigonometrischen und eines irrationalen Ausdrucks ist null - die Gleichung soll gelöst werden. |
| Nummer 34. | Name Trigonometrische Gleichung, Faktorisierung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung der trigonometrischen Gleichung durch Faktorisierung |
| Nummer 35. | Name Gleichung dritten Grades, Faktorisierung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung dritten Grades durch Faktorisierung |
| Nummer 36. | Name Gleichung höheren Grades | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung einer unvollständigen Polynomialgleichung höheren Grades durch Faktorisierung |
| Nummer 37. | Name Irrationale Gleichung | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung einer irrationalen Gleichung |
| Nummer 38. | Name Gleichung mit zwei Beträgen | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung einer Gleichung mit zwei Betragsfunktionen |
| Nummer 39. | Name Quadratische Gleichung mit einem Betrag | Art 2 - interpretativ | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung einer quadratischen Gleichung mit einem Betrag |
Zusätzliche Beispiele (nur für Lehrende sichtbar)
| Nummer | Name | Art | Schwierigkeitsgrad | Punkte | Beschreibung |
|---|---|---|---|---|---|
| Nummer 1. | Name Äquivalente Gleichungen | Art Andere | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Ermitteln der Lösung der Gleichung als Ergebnis des Übergangs von der Form h(f(x))=h(g(x)) zu f(x)=g(x). Im Laufe der Modifikationen wird eine quadratische Gleichung gelöst. |
| Nummer 2. | Name Auswahl der Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist | Art Andere | Schwierigkeitsgrad leicht | Punkte 1♦ | Beschreibung Es wird eine Gleichung aus den vorgeschlagenen Gleichungen ausgewählt, die der gegebenen äquivalent ist. |
| Nummer 3. | Name Gleichung dritten Grades, Faktorisierung | Art Andere | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung dritten Grades durch Faktorisierung |
| Nummer 4. | Name Irrationale Gleichung, Faktorisierung | Art Andere | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer irrationalen Gleichung durch Faktorisierung |
| Nummer 5. | Name Exponentialgleichung, Faktorisierung | Art Andere | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung der Exponentialgleichung durch Faktorisierung |
| Nummer 6. | Name Trigonometrische Gleichung, Substitutionsmethode | Art Andere | Schwierigkeitsgrad mittel | Punkte 2♦ | Beschreibung Lösung einer trigonometrischen Gleichung durch die Substitutionsmethode |
| Nummer 7. | Name Irrationale Gleichung (doppelte Potenzierung) | Art Andere | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Irrationale Gleichung, die zweimal quadriert wird |
| Nummer 8. | Name Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen | Art Andere | Schwierigkeitsgrad schwer | Punkte 3♦ | Beschreibung Lösung der Gleichung zweiten Grades in ganzen Zahlen mit zwei Variablen |
Mit YaPlus erhältst du:
- Zugang zum Matura-Abschnitt und zur Probe-Matura;
- Zugang zur Mathematik und English Language Fächern;
- Die richten Antworten auf alle Aufgaben;
- Die Lösungsschritte für jede Aufgabe.