Winkelfunktionen

Didaktische Hinweise:

Didaktische Hinweise

Nummer Name Beschreibung
1. Didaktische Hinweise

Theorie

Nummer Name Beschreibung
1. Definitions- und Wertebereich der Winkelfunktionen Es wird der Begriff der Winkelfunktionen, ihr Definitions- und Wertebereich gegeben.
2. Eigenschaften der Funktion y=sinx und ihr Graph Graph und Eigenschaften der Sinusfunktion
3. Eigenschaften der Funktion y=cosx und ihr Graph Eigenschaften und Graph der Kosinusfunktion
4. Funktion y=tan x und ihre Eigenschaften Die Erstellung des Graphen der Funktion y = tan x und ihre Eigenschaften werden beschrieben.
5. Funktion y=cot x und ihre Eigenschaften Die Erstellung des Graphen der Funktion y = сot x und ihre Eigenschaften werden beschrieben.

Übungsbeispiele

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Definitionsbereich der Winkelfunktionen 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Der Definitionsbereich einer gegebenen Winkelfunktion (sin, cos) soll bestimmt werden.
2. Wertebereiches der Kosinusfunktion 1 - Rezeptiv leicht 1,5♦ Der Wertebereich einer Funktion der Form y = b + c cos ax soll bestimmt werden.
3. Wertebereich der Sinusfunktion 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Der Wertebereich einer Funktion der Form y = b + c sin ax soll bestimmt werden.
4. Größter und kleinster Wert des Ausdrucks 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Man bestimmt den größten und den kleinsten Wert eines Ausdrucks, der Sinus oder Kosinus enthält.
5. Monotonie der Funktion y=sinx 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Man bestimmt, ob die Funktion y = sinx im gegebenen Intervall steigt oder fällt.
6. Umwandlung des Ausdrucks sin t und Bestimmung seines Wertes 2 - interpretativ leicht 1♦ Während der Lösung wird der Ausdruck sin t so umgewandelt, dass t kleiner als 2 pi, aber größer als 0 ist, dann wird sein Wert bestimmt.
7. Bestimmung der Sinuswerte 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Der Sinuswert eines Winkels soll angegeben werden.
8. Steigen und Fallen der Funktion y=cosx 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Die Monotonieeigenschaften der Kosinusfunktion in gegebenen Intervallen sollen bestimmt werden.
9. Vergleich von Funktionswerten 1 - Rezeptiv leicht 1,5♦ Je zwei Kosinuswerte imi Bogen- und Winkelmaß sollen miteinander verglichen werden.
10. Umwandlung des Ausdrucks cos t und Bestimmung seines Wertes 2 - interpretativ leicht 1♦ Eine Kosinusfunktion mit großem Argument soll anhand ihrer Periodizitätseigenschaften auf ein kleineres Argument umgewandelt und so bestimmt werden.
11. Bestimmung des Wertes 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Bestimmung eines Wertes der Funktion y=tan x oder y=cot x, wenn der Wert des Argumentes bekannt ist.
12. Bestimmung des Wertes der Winkelfunktion 1 - Rezeptiv leicht 1♦ Man findet den Wert der Winkelfunktion y=tan x, indem man die Periodizität und die Ungeradheit der Funktion anwendet.
13. Bestimmung des Vorzeichens der Differenz 2 - interpretativ leicht 1,5♦ Man bestimmt das Vorzeichen der Differenz (tan x - tan y).
14. Bestimmung des Wertebereiches der Winkelfunktionen 1 - Rezeptiv mittel 2♦ Der Wertebereich eines trigonometrischen Ausdrucks wird mithilfe eines Additionstheorems bestimmt.
15. Bestimmung des Wertes der Funktion 2 - interpretativ mittel 2♦ Ein Funktionswert zu gegebenem Argument soll berechnet werden.
16. Definitionsbereich einer trigonometrischen Funktion 3 - analytisch mittel 2♦ Um den Definitionsbereich des Ausdrucks zu finden, muss man die trigonometrische Gleichung im Nenner des Bruches lösen.
17. Wertebereich von Winkelfunktionen 2 - interpretativ mittel 2♦ Der Wertebereich der Winkelfunktionen wird anhand einer Additionsformel gefunden.
18. Vergleich der Zahlen anhand der Eigenschaften der Funktion y=sinx 1 - Rezeptiv mittel 2♦ Zwei Sinuswerte sollen miteinander verglichen werden.
19. Zugehörigkeit der Punkte zum Graphen 2 - interpretativ mittel 2♦ Man bestimmt, ob der gegebene Punkt zum Graphen der Sinusfunktion gehört.
20. Variation des Graphen der Funktion y=sin x 2 - interpretativ mittel 2♦ Ein Graph einer der Funktionen y=sin x+ b; y=- sin x+b; y=sin(x+a); y=k sin x soll identifiziert werden.
21. Gerade oder ungerade Funktion 2 - interpretativ mittel 2♦ Eine gegebene Funktion soll als gerade oder ungerade identifiziert werden.
22. Maximum und Minimum in Intervall 2 - interpretativ mittel 2♦ Der größte und kleinste Wert der Funktion y=sin x in einem gegebenen Intervall soll bestimmt werden.
23. Wertebereich der Funktion y=sin x 2 - interpretativ mittel 2♦ Es wird der Wertebereich der Funktion y = b + sin ax, die unter der Wurzel steht, bestimmt.
24. Erstellung der Graphen der Funktionen y=cos x+b oder y=cos(x+а) 2 - interpretativ mittel 2♦ Erkennen der Graphen von Funktionen der Form y=cos x+ b; y=- cos x+b; y=cos(x+a); y=k cos x
25. Zugehörigkeit der Punkte zum Graphen der Funktion y=k cos(x+a)+b 2 - interpretativ mittel 2♦ Ein Punkt soll als (k)ein Element des Graphen einer allgemeinen Kosinusfunktion identifiziert werden ohne dabei den Graphen zu zeichnen.
26. Bestimmung des größten und kleinsten Funktionswertes 3 - analytisch mittel 2♦ Der größte und der kleinste Wert einer Kosinusfunktion im gegebenen Intervall sollen bestimmt werden.
27. Wertebereich einer Kosinusfunktion 2 - interpretativ mittel 2♦ Der Wertebereich einer Funktion der Form y = b cos x+a wird bestimmt.
28. Gerade oder ungerade Funktion 3 - analytisch mittel 2♦ Eine gegebene Kosinusfunktion soll als gerade oder ungerade klassifiziert werden.
29. Definitionsbereich und Wertebereich der Tangensfunktion 1 - Rezeptiv mittel 2♦ Der Definitions- und der Wertebereich der Funktion y = tan ax wird bestimmt.
30. Vergleich von Eigenschaften der Winkelfunktionen 1 - Rezeptiv mittel 2♦ Monotonieeigenschaften einer Winkelfunktion in einem gegebenen Intervall sollen angegeben werden.
31. Bestimmung des Vorzeichens des Ausdrucks 3 - analytisch schwer 3♦ Ein n-faches Produkt von Winkelfunktionen der Form sin1° sin2° ... sin n° soll auf sein Vorzeichen in Abhängigkeit von n untersucht werden.
32. Wertebereich der Funktion 3 - analytisch schwer 4♦ Der Wertebereich einer Funktion soll ermittelt werden. Dazu sind einigermaßen komplizierte trigonometrische Operationen erforderlich.
33. Summe der Quadrate von Winkelfunktionen 3 - analytisch schwer 3♦ Die Summe der Quadrate der Tangens- und der Kotangensfunktion eines Arguments soll bestimmt werden, wobei die lineare Summe der beiden Funktionen gegeben ist.
34. Grafische Lösung der Gleichung 3 - analytisch schwer 3♦ Eine transzendente Gleichung (Sinus- und lineare Funktion) soll grafisch gelöst werden.
35. Maximal- und Minimalwert 3 - analytisch schwer 3♦ Der größte und der kleinste Wert einer trigonometrischen Funktion sollen bestimmt werden.
36. Grafisches Gleichungslösen 3 - analytisch schwer 3♦ Eine transzendente Gleichung (Kosinus- und lineare Funktion) soll grafisch gelöst werden.
37. Größter und des kleinster Funktionswert 3 - analytisch schwer 3♦ Der größte und der kleinste Wert einer trigonometrischen Funktion sollen bestimmt werden.
38. Erstellung des Graphen einer Funktion y=cos(x+a)+b 3 - analytisch schwer 3♦ Der Graph einer Funktion der Form y=cos(x+a)+b soll anhand des Graphen der Funktion y=cos x durch Verschiebung erstellt werden.
39. Gleichung überprüfen 3 - analytisch schwer 3♦ Eine Gleichung aus Tangensfunktionen soll auf Richtigkeit geprüft werden.
40. Bestimmung des Wertes des Ausdrucks 3 - analytisch schwer 3♦ Ein Ausdruck der Form \(sin^2a+cos^2b\) soll berechnet werden, indem geometrische Überlegungen zu Winkeln mit gleichen Sinus- bzw. Kosinuswerten angestellt werden.

Zusätzliche Beispiele (nur für Lehrende sichtbar)

Nummer Name Art Schwierigkeitsgrad Punkte Beschreibung
1. Vergleich von Kosinuswerten Andere leicht 1♦ Zwei Kosinuswerte sollen miteinander verglichen werden.
2. Bestimmung des Wertes der Winkelfunktion Andere leicht 1♦ Man bestimmt den Wert der Winkelfunktion y=cot x, indem man die wichtigsten Eigenschaften der Funktion anwendet.
3. Winkelfunktionen des gegebenen Winkels Andere leicht 1♦ Der Wert einer Winkelfunktion soll angegeben werden.
4. Vergleich von Sinuswerten Andere leicht 1♦ Die Sinuswerte zweier Winkel sollen verglichen werden.
5. Vereinfachung der Ausdrücke Andere leicht 1♦ Ein trigonometrischer Ausdruck soll mittels elementarer trigonometrischer Identitäten vereinfacht werden.
6. Kleinster und größter Funktionswert Andere mittel 2♦ Der kleinste und der größte Wert einer trigonometrischen Funktion werden ermittelt.
7. Bestimmung des Wertes einer Winkelfunktion Andere mittel 2♦ Aus einem bekannten Sinuswert sowie dem Quadranten des Winkels soll der Tangens bestimmt werden.
8. Maximum und Minimum der Funktion Andere mittel 2♦ Der maximale und der minimale Wert der gegebenen Funktion sollen bestimmt werden.
9. Bestimmung des Wertes der Funktion Andere mittel 2♦ Ein Funktionswert soll bestimmt werden.
10. Bestimmung des größten und des kleinsten Wertes der Funktion Andere mittel 2♦ Das Maximum und das Minimum einer gegebenen trigonometrischen Funktion sollen bestimmt werden.
11. Bestimmung des Ungleichheitszeichens der Differenz Andere mittel 2♦ Das Ungleichheitszeichen der Differenz (cot x - cot y) wird bestimmt.
12. Vergleich von Zahlen Andere mittel 2♦ Sinusfunktionen verschiedener Winkel sollen der Größe nach geordnet werden.
13. Berechnung einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks Andere mittel 2♦ Man bestimmt eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die zweite Kathete und ihr Berührungswinkel bekannt sind.
14. Berechnung des Wertes des Ausdrucks Andere mittel 2♦ Man berechnet den Wert eines trigonometrischen Ausdrucks, der zuerst vereinfacht werden muss.
15. Wahre oder falsche Aussage? Andere schwer 3♦ Eine Gleichung mit Winkelfunktionen soll mittels Umformungen auf Richtigkeit überprüft werden.
16. Bestimmung der Summe der Kuben der Winkelfunktionen Andere schwer 3♦ Die Summe der Kuben der Winkelfunktionen (Sinus und Kosinus) soll bestimmt werden, wenn die Summe derselben Funktionen bekannt ist.

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